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up:
  - "[[covariance]]"
tags:
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aliases:
  - coefficient de correlation linéaire
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> [!definition] [[coefficient de correlation linéaire de Pearson]]
> Soient $X$ et $Y$ deux [[variable aléatoire|variables aléatoires]] (ou colonnes numériques)
> Soient $\sigma _{X}$ et $\sigma _{Y}$ les [[variance]] (éventuellement empiriques) de $X$ et $Y$
> Soit $\operatorname{Cov}(X, Y)$ la [[covariance]] de $X$ et $Y$
> on a :
> $\boxed{\rho := \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma _{X} \sigma _{Y}}}$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> on a $\rho \in [-1; 1]$
> et $|\rho| = 1$ si et seulement s'il y à dépendance linéaire entre $X$ et $Y$
>  - dem se démontre via l'[[inégalité de cauchy schwartz]]

# Pour les tests
Test d'hypothèse
$H_0$ (hulle) : $\operatorname{Cov}_{\rho}(X, Y) = 0$
$H_1$ (alternative) : 
 - bilatère : $\operatorname{Cov}_{\rho}(X, Y) \neq 0$
 - positive : $\operatorname{Cov}_{\rho}(X, Y) > 0$
 - négative : $\operatorname{Cov}_{\rho}(X, Y) < 0$

# Exemples