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> [!definition] [[fonction partielle]]
> Une fonction partielle de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$ est un couple $(A, f)$ où $A \subseteq \mathbb{N}^{p}$ et $f$ est une [[application]] de $A \to \mathbb{N}$.
>  - i $A$ est appelé **domaine de définition** de la fonction
>  - i si $(a_1, a_2,\dots, a_{p}) \notin A$ on dira que la fonction **n'est pas définie** en $(a_1, a_2, \dots, a_{p})$
>  - so Deux fonctions partielles sont égales si elles ont le même domaine de définition, et si elles sont égales sur ce domaine
^definition

 - une fonction partielle définie partout est une [[fonction totale]]

> [!info] Notations
 > On notera :
 >  - $f$ pour désigner, le couple $(A, f)$
 >  - $\mathscr{F}^{*}_{p}$ l'ensemble des [[fonction partielle|fonctions partielles]] de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$
 >  - $\mathscr{F}^{*} = \bigcup _{p \geq 0} \mathscr{F}_{p}^{*}$
 > 
 >  - ! on réservera le mot "fonction" aux [[fonction totale|fonctions totales]]
> 
^notations

# Définitions supplémentaires

> [!definition] Composition
> Soient $f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p}$ et $g \in \mathscr{F}_{n}$ 
> La **fonction composée** $h = g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ est l'élément de $\mathscr{F}^{*}_{p}$ défini comme suit :
>  - $h(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas définie si l'une des $f_{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas défini ou si, toutes l'étant, $g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$ n'est pas définie
>  - Dans le cas contraire, $h(x_1, x_2, \dots, x_{p}) := g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$
^composition

> [!definition] Récurrence
> Soient $g \in \mathscr{F}^{*}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}^{*}_{p+2}$
> Il existe une et une seule fonction $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$ vérifiant les conditions suivantes :
>  - $\forall (\overline{x}) \in \mathbb{N}^{p},\quad f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})$ (donc, $f(\overline{x}, 0)$ est définie si et seulement si $g(\overline{x})$ l'est, et lui est égale dans ce cas)
>  - $\forall (\overline{x}, y) \in \mathbb{N}^{p+1},\quad f(\overline{x}, y+1) = h (\overline{x}, y, f(\overline{x}, y)$ (même remarque que plus haut)
>  - i on dira que $f$ est **définie par récurrence à partir de $g$ et $h$**
^recurrence

![[schéma mu]]

# Propriétés

# Exemples