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> [!definition] [[corps des entiers relatifs]]
> $\mathbb{Z}$ 
^definition

# Propriétés
> [!proposition]+ Division euclidienne
> soient $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^{*}$
> Alors $\exists ! (q, r) \in \mathbb{Z}^{2},\quad \begin{cases} a = bq + r\\ \begin{align} 0 \leq r & < b \\&\leq b-1 \end{align} \end{cases}$
> > [!démonstration]- Démonstration – Existence
> > $b \neq 0$
> > On pose $q = \left\lfloor  \dfrac{a}{b}  \right\rfloor \in \mathbb{Z}$ et $r = a - bq \in \mathbb{Z}$
> > Par définition de $r$ on a $q = bq+r$
> > $\displaystyle \frac{a}{b} - 1 < \underbrace{\left\lfloor  \frac{a}{b}  \right\rfloor}_{q} \leq \frac{a}{b}$
> > $b > 0$ donc :
> > $a - b < bq \leq a$
> > $- a+ b > -bq \geq -a$
> > $b > \underbrace{a - bq}_{r} \geq 0$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration – Unicité
> > Soient $(q, r)$ et $(q', r')$ deux couples qui conviennent
> > Alors $bq + r = a = bq' + r'$
> > donc $b(q - q') = r' - r$
> > or $0 \leq r' < b$ et $0 \leq r < b$
> > donc $-b < -r \leq 0$
> > $-b < r' -r <b$
> > $-1 < q - q' < 1$ ce qui implique que $q - q' = 0$ puisque l'on est dans $\mathbb{Z}$
> > Donc $q = q'$, et donc aussi $r = r'$
> > Cela donne l'unicité

# Exemples