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center: true
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theme: white
title: Mathématiques pour non spécialistes
subtitle: Désintégration audioactive
author:
- Oscar Plaisant
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# Mathématiques pour non spécialistes
## Désintégration audioactive
Oscar Plaisant
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# Définition
![[désintégration audioactive#^definition]]
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# Exemples
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## Exemple 1
- $1$
- $11$
- $21$
- $1211$
- $111221$
- $312211$
- $13112221$
- $1113213211$
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## Exemple 1
+ $1 \longrightarrow \text{un } 1$
+ $11 \longrightarrow \text{deux }1$
+ $21 \longrightarrow \text{un }2,\quad \text{un }1$
+ $1211 \longrightarrow \text{un }1,\quad \text{un }2,\quad \text{deux }2$
+ $\underline{111\!}\,221 \longrightarrow \text{trois }1,\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1$
+ $312211$
+ $13112221$
+ $1113213211$
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"désintégration audioactive"
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## Exemple 2
$22 \longrightarrow \text{deux } 2$
$22$
$22$
$\vdots$
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## Exemple 3
$49$
$1419$
$11141119$
$31143119$
$132114132119$
$11131221141113122119$
note: n'augmente pas toujours sa longueur, mais augmente tendanciellement
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## Exemple 3
$49$
$14\cdot19$
$1114\cdot1119$
$3114\cdot3119$
$132114\cdot132119$
$1113122114\cdot1113122119$
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# Notations
+ nombres $\hookrightarrow$ chiffres
+ $12 \longrightarrow 1112$
+ $,11,12,$
+ $[11$ et $12]$
+ $1^{3}2^{1}$
+ $1^{\geq 2}(\neq 1)^{3}$
+ $[1^{3}X^{1 \text{ ou } 2}$
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# Propriétés
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## Première propriété évidente
Pour une étape : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
Il est évident que : $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
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## Théorème du jour 1
Les morceaux de type :
+ $,ax,bx,$ devrait être dérivé en $(a+b)x$
+ $x^{\geq 4}$ $=\begin{cases}x,xx,x\cdots \\ ,xx,xx, \cdots\end{cases}$ impossible
+ $x^{3}y^{3}$ $=\begin{cases},xx,xy,yy, \text{ un cas de } ,ay,by, \\ x,xx,xy,y \text{ un cas de } ,ax,bx,\end{cases}$
n'apparaîssent plus après 1 jour.
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## Théorème du jour 2
Après 2 jours, on ne peut plus avoir :
+ apparition d'un $\geq 4$ car $x^4$ impossible (thm. J1)
+ $3X3$ $=\begin{cases},3X,3y \longleftarrow X^3y^3 {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)} \\ 3,X3, {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)}\end{cases}$
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## Théorème du début
Le début arrivera toujours sur l'un de ces cycles :
+ $\overparen{[ \;\; ]} \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow \cdots$
+ $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$
+ $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
+ $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
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### Théorème du début — Exemple
+ $[37]$
+ $[1317]$
+ $[11131117]$
+ $[{\color{#080}311}331 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$ pour $X=3$
+ $[{\color{#09b}13}2123 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$
+ $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
+ $[{\color{#080}311}311 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}$
+ $[{\color{#09b}13}21 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}$
+ $[{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}$
+ $\vdots$
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### Théorème du début — Démonstration
1) Montrer que toutes les chaînes des jours $\geq 2$ ont une certaine forme (lister les cas)
+ équivalent pour $R$ ne commençant pas par $22$ et pour $R = [22\cdot R'$
2) Vérifier que ces cas arrivent tous à l'un des cycles
![[attachments/Pasted image 20260330014744.png]]
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### Théorème du début — Démonstration
3) Simplifier les cas (en assimiler certains)
![[attachments/Pasted image 20260330021624.png]]
La version de Conway :
![[attachments/Capture d’écran 2026-03-29 à 22.50.04.png]]
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## Théorème du découpage
> [!definition] Découpage
> Quand les descendants de $L$ et $R$ n'interfèrent jamais dans $LR$, c'est-à-dire :
> $\forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}$
>
> On dit que $LR$ se **découpe** en $L \cdot R$
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## Théorème du découpage
> [!definition] Découpage trivial
> $[\;\;]\cdot R$ ou $L \cdot [\;\;]$
> [!definition] Atome
> - **atome** : morceau sans découpage non trivial
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## Théorème du découpage
Une chaîne de $\geq 2$ jour $LR$ se découpe en $L \cdot R$ seulement si l'un et vide ou dans un de ces cas :
| L | R |
| ------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $n]$ | $[m$ |
| $2]$
| $[1^1X^1$ ou $[1^{3}$ ou $[3^{1}X^{\neq 3}$ ou $[n^{1}$ |
| $\neq 2]$
| $[2^{2} 1^{1}X^{1}$ ou $[2^{2}1^{3}$ ou $[2^{2}3^{1}X\neq 3$ ou $[2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}$ |
avec $n \geq 4$ et $m \leq 3$
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## Théorème du découpage
Suit directement :
- du théorème du début pour R
- du fait que la fin de $L$ est constante
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## Théorème de la fin
![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.46.57.png]]
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## Théorème de la fin
Démonstration par disjonction des cas entre :
+ les chaînes qui terminent par 1
+ $\tiny 1^{\geq 3}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{1}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow 2^{X \neq 2}1^{1}] \longrightarrow 2^{X \neq 2}1^{2}] \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]$
+ les chaînes qui terminent par $n > 1$
+ ![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.50.33.png]]
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## Théorème de la fin
![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.52.37.png]]
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## Théorème chimique
### Les 92 éléments
![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.54.50.png|300]]
![[attachments/Capture d’écran 2026-03-30 à 02.57.24.png|300]]
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## Théorème chimique
1) Les descendants d'un élément sont composés d'éléments
2) Tous ces éléments engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément
3) Les descendants te toute chaîne autre que $[\;\;]$ et $[22]$ engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément
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## Les éléments transuraniques
Pour tout $n \geq 4$
+ *Plutonium* (Pu) : $1221132221222112112322211n$
+ (Li) pour $n=2$, (W) pour $n=3$
+ *Neptunium* (Np) : $1311222113321132211221121332211n$
+ (He) pour $n=2$, (Ta) pour $n=3$
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## Théorème arithmétique
> [!definition] Chaîne commune
> On dit qu'une chaîne est **commune** si elle est un composé d'atomes communs.
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## Théorème arithmétique
1) Les longueurs de toutes les chaînes **communes** (sauf $[\;\;]$ et $[22]$) augmentent géométriquement avec une raison $\lambda > 1$
2) Les abondances relatives des éléments dans ces chaînes tendent vers des valeurs fixes $>0$
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## Théorème arithmétique
### Concept de la preuve
+ $v_{i} \in \mathbb{N}^{92}$ compte les atomes de numéro $i$ dans une chaîne
- compter les atomes $\sim{}\!\!$ compter les chiffres (longueur des atomes $\leq 42$)
+ à chaque dérivation, $v$ est multiplié par $M$
- $M_{i,j} = \# E_{j} \text{ dans le dérivé de } E_{i}$
+ Th. chimique $\implies M_{i,j} > 0$ si $i \neq 1$
+ $v_0M^{n} \sim \lambda^{n} \longrightarrow \lambda = \small\text{ plus grande valeur propre de } M$
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## Théorème arithmétique
### Constante de conway
$v_0M^{n} \sim \lambda^{n}$
$\lambda := \text{ plus grande valeur propre de } M$
+ $\lambda = 1.30357726903\dots$
+ polynôme de degré 71
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## Théorème cosmologique
Toute chaîne **commune** finit par se "désintégrer" en un composé d'éléments (communs et transuraniques) après un nombre borné d'étapes de dérivation.
$\implies$ toute chaîne finit par augmenter (sa longueur) avec une raison $\lambda$
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# Source
*Open problems in communication and computation* (Cover, T. M., Gopinath, B), consulté le 2026-03-27