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aliases:
  - inverse
up: "[[structure algébrique]]"
tags:
  - "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] éléments inversibles
> Soit $E$ in ensemble muni d'une [[loi de composition interne]] $*$, et contenant un [[élément neutre|élément neutre]] $e$.
> Un élément $a\in E$ est inversible ssi :
> $\exists a'\in E, a*a' = a'*a = e$
> On dit alors que $a'$ est le symétrique ou l'**inverse** de $a$
^definition

> [!definition] élément inversible à droite
> Dans $(E, *)$ avec $e \in E$ élément neutre
> Un élément $a \in E$ est dit **inversible à droite** quand :
> $\exists i \in E,\quad ai = e$
> On dit alors que $i$ est le symétrique à droite ou **inverse à droite** de $a$

> [!definition] élément inversible à gauche
> Dans $(E, *)$ avec $e \in E$ élément neutre
> Un élément $a \in E$ est dit **inversible à gauche** quand :
> $\exists i \in E,\quad ia = e$
> On dit alors que $i$ est la symétrique à gauche ou **inverse à gauche** de $a$

> [!info] Notation
> Si la loi est notée additivement, le symétrique de $a$ sera noté $-a$
> Si la loi est notée multiplicativement, le symétrique de $a$ sera noté $a^{-1}$