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up: "[[norme]]"
tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] Distance
> Soit $X$ un ensemble
> Une application $d : X \times X \to \mathbb{R}$ est appelée **distance** ssi :
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
> - $\forall x \in X, \quad d(x, x) = 0$
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
> - $\forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
^definition

> [!definition] distance (définition à partir d'une [[norme]])
> Soit $(E, \langle\cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]] 
> Soit $\|\cdot\|$ la norme de cet espace ($\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle$)
> On définit une **distance** $d$ sur cet espace, à partir de la [[norme]] comme :
> $\boxed{d(x, y) = \|y - x\|}$
^definition-depuis-une-norme

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
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field-groups: [downs]
depth: [0, 0]
```

# Propriétés

> [!info] Equivalence entre distance et norme
> Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application
> $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$
> est une distance
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
> > Soit $\|\cdot\|$ une [[norme]] sur $E$
> > Soit l'application :
> > $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align}$
> > On cherche à montrer que $d$ est une [[distance]].
> > 
> > $\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0$ donc $d$ est bien positive
> > 
> > $\forall x, y \in E$ on a :
> > $\begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E}  \\ &\iff x = y \end{align}$
> > Donc la séparation est bien vérifiée ($\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$) et un point est bien à distance nulle de lui-même ($\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0$)
> > 
> > $\forall x, y \in E$ on a :
> > $\begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align}$
> > Donc $d$ est bien symétrique
> > 
> > Soient $x, y , z \in E$
> > $$\begin{align}  
> > d(x, z) &= \|x - z\|  \\
> > &= \|x - y + y - z\| \\
> > &\leq \|x - y\| + \|y - t\| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\\
> > &\leq d(x, y)	+ d(y, z)
> > \end{align}
> > $$
> > Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire.
> > 
> > Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation, 


# Exemples

> [!example] Exemple
> Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$ 
> ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]]
> On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$
> On pourra alors vérifier que c'est bien une distance (elle respecte les propriétés)