--- aliases: tags: - s/maths/algèbre up: - "[[anneau]]" --- > [!definition] Définition > Soit $A$ un [[anneau]]. > On dit que $A$ est **unifère** s'il admet un [[élément neutre]] non nul pour le produit. > Autrement dit, si : > $\exists e \in A^{*},\quad \forall a \in A,\quad ae = ea =a$ avec $A^{*} = A\setminus \{ 0_{A} \}$ > - i Cet élément est généralement noté $e$, $1$ ou $I$ ^definition # Propriétés > [!proposition]+ Tout anneau unifère contient au moins deux éléments > Soit $A$ un anneau unifère. > On sait que $A$ contient au moins deux éléments distincts : > - $0$ l'élément neutre de l'addition > - $1$ l'élément neutre du produit > > > [!démonstration]- Démonstration > > Comme $A$ est un anneau, on sait qu'il doit contenir un élément neutre pour l'addition, d'où il suit que $0 \in A$. > > Comme $A$ est unifère, on sait qu'il contient un élément neutre pour le produit, et que cet élément est non nul, d'où il suit que $1 \in A$ et que $1 \neq 0$. > > Ainsi, on a bien montré que $\{ 0, 1 \} \subset A$