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aliases:
  - associé
  - associés
up:
  - "[[polynôme]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Soit $A$ un [[anneau]]
> Soient $P, Q \in A[X]$ deux [[polynôme|polynômes]]
> On dit que $P$ et $Q$ sont **associés** si :
> $\boxed{\exists a \in A^{*},\quad P = aQ}$
> (où $A^{*}$ est l'[[ensemble des éléments inversibles d'un anneau|ensemble des éléments inversibles]] de $A$)
^definition

> [!idea] intuition
> Deux polynômes sont associés si ils sont liés par un facteur qui est aussi un inversible (dans son anneau)

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> La relation "être associé" est une [[relation d'équivalence]]

> [!proposition]+ 
> Un polynôme $P \neq 0$ est associé à un unique [[polynôme unitaire]]

# Exemples

> [!example] Dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}[X]$
> Soient $P = \overline{5}X + \overline{3}$ et $Q = -X + \overline{5}$
> alors $P$ et $Q$ sont associés car :
> $\overline{4} P = Q$ (et car $\overline{4}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$)
>