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Cette théorie ne se base pas sur des ensembles directement, mais sur des **classes**.
Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est définie par le prédicat indiquant ce qu'elle contient.

# Définitions et Axiomes
> [!definition] Classe
> Une classe $C$ est un objet caractérisé par sa relation d'appartenance, c'est-à-dire que pour tout objet $x$ on pourra dire si $x \in C$ ou non.
^def-classe

> [!proposition]+ Axiome d'extentionnalité
> Deux choses contenant les mêmes éléments sont égales.
> Autrement dit, $C_1 = C_2$ si et seulement si $\forall x,\quad x \in C_1 \iff x \in C_2$
^ax-extentionnalite

> [!definition] Inclusion
> La relation d'inclusion, notée $\subseteq$ est définie par :
> $C_1 \subseteq C_2 \iff \text{pour toute classe } X \text{ avec } X \in C_1 \text{ on a } X\in C_2$
^def-inclusion

> [!definition] Ensemble
> Une classe $A$ est un **ensemble** s'il existe une classe $C$ telle que $A \in C$.
> - i l'axiome d'extentionnalité s'applique également sur les ensembles
> - i on note $\mathcal{M}$ le prédicat "est un ensemble" ($\mathcal{M}(x) \iff x \text{ est un ensemble}$)
^def-ensemble

> [!definition] Union et Intersection
> Soient $C_1$ et $C_2$ deux classes
> - $C_1 \cup C_2$ est une classe dont les éléments sont les $X$ qui appartiennent à $C_1$ ou à $C_2$
> - $C_1 \cap C_2$ est une classe dont les éléments sont les $X$ qui appartiennent à $C_1$ et à $C_2$
> - i on sait par l'axiome d'extentionnalité que $C_1 \cup C_2$ et $C_1 \cap C_2$ sont uniquement déterminés par ces définitions
^def-union-intersection

> [!definition] Complémentaire
> Soit $C$ une classe
> $C^{\complement}$ est la classe qui a pour éléments les $X$ tels que $X \notin C$
> - i on sait par l'axiome d'extentionnalité que $C^{\complement}$ est uniquement déterminé par ces définitions
>   
^def-complementaire 

> [!proposition]+ Axiome d'intersection
> Si $x$ est un ensemble, si $C$ est une classe, alors $x \cap C$ est un ensemble
> - i Par conséquence, si une classe $C$ est contenue dans un ensemble $A$, alors $C$ est un ensemble aussi.
>     - dem car $C \subseteq A$ entraine $C = C \cap A$
^ax-intersection

> [!proposition]+ Axiome de la paire
> Si $x$ et $y$ sont des ensemble, alors il existe un ensemble dont les seuls éléments sont $x$ et $y$.
> $\tiny\mathcal{M}(x) \wedge \mathcal{M}(y) \implies (\exists z,\quad \mathcal{M}(z) \wedge x \in z \wedge y \in z \wedge (\forall t,\quad t \in z \implies (t=x \vee t=z)))$
> - i par l'axiome d'extentionnalité, on sait qu'il n'existe qu'un seul tel ensemble, que l'on note $\{ x, y \}$
> - i si $x = y$ on note simplement $\{ x \}$, c'est un **singleton**
> 
> > [!proposition]+ Construction des couples (Kuratowski)
> > Si $x$ et $y$ sont des ensembles, on pose :
> > $(x, y) = \{ \{ x \}, \{ x, y \} \}$
^ax-paire

> [!proposition]+ égalité sur les couples
> Soient $x, y, x', y'$ des ensembles
> $(x, y) = (x', y') \iff x=x' \wedge y=y'$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\boxed{\implies}$ Supposons que $x=x'$ et $y=y'$, on a alors $\{ x, y \} = \{ x', y' \}$ et $\{ x \} = \{ x' \}$ par l'axiome d'extension.
> >   Alors, à nouveau par extentionnalité, on a $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \}$
> > - $\boxed{\impliedby}$ Supposons réciproquement que $(x, y) = (x', y')$
> >   On a alors : $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \}$
> >   Il suit par extension que l'un des cas suivants est réalisé :
> >   - soit $\{ x \} = \{ x' \}$ et $\{ x, y \} = \{ x', y' \}$
> >     dans ce cas, on a $x=x'$ par extension, et de là il est évident aussi que $y = y'$
> >   - soit $\{ x \} = \{ x', y' \}$ et $\{ x, y \} = \{ x' \}$
> >     dans ce cas on sait que l'on doit avoir $x=y$ et $x'=y'$, et on en déduit $\{ x \} = x'$ et $y=y'$
> >   Les autres cas peuvent être éliminés par extentionnalité.

> [!proposition]+ n-uplets
> On peut construire les triplets, quadruplets etc. à partir des couples :
> - $(x, y, z) = ((x, y), z)$
> - $(x, y, z, w) = (((x, y), z), w)$
> - $\vdots$ 

> [!proposition]+ Axiome : graphe de la relation $\in$
> Il existe une classe $E$ telle que pour tous les ensemble $x, y$ on a $(x, y) \in E$ si et seulement si $x \in y$.
> $\boxed{(x, y) \in E \iff x \in y}$
> $E$ est le **graphe** de la relation $\in$

> [!proposition]+ Axiome : existence du domaine
> Si $C$ est une classe, il existe une classe notée $\operatorname{dom}(C)$ telle que pour tout ensemble $x$ on aie $x \in \operatorname{dom}(C)$ si et seulement s'il existe un ensemble $y$ tel que $(x, y) \in C$.
> $\boxed{x \in \operatorname{dom}(C) \iff \exists y \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C}$
> - i On dit que $\operatorname{dom}(C)$ est le **domaine** de $C$
^ax-domaine

> [!proposition]+ Axiome : existence du codomaine
> Si $C$ est une classe, il existe une classe notée $\operatorname{codom}(C)$ telle que pour tout ensemble $y$ on aie $y \in \operatorname{codom}(C)$ si et seulement s'il existe un ensemble $x$ tel que $(x, y) \in C$.
> $\boxed{y \in \operatorname{codom}(C) \iff \exists x \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C}$
> - i On dit que $\operatorname{codom}(C)$ est le **codomaine** de $C$
^ax-codomaine

> [!proposition]+ Axiome : existence d'une classe de domaine $C$
> Si $C$ est une classe, il existe une classe $C'$ dont $C$ est le domaine ($\operatorname{dom}(C') = C$), autrement dit :
> il existe une classe $C'$ telle que $\forall y \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C' \iff x \in C$
^ax-de-domaine

> [!proposition]+ Axiome : existence d'une classe de codomaine $C$
> Si $C$ est une classe, il existe une classe $C'$ dont $C$ est le codomaine ($\operatorname{codom}(C') = C$), autrement dit :
> il existe une classe $C'$ telle que $\forall x \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C'$
^ax-de-codomaine

> [!proposition]+ Axiome : permutation des triplets
> Soit $C$ une classe, alors :
> - il existe une classe $D$ telle que pour tous les ensembles $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D \iff (y, x, z) \in C$
> - il existe une classe $D'$ telle que pour tout les ensemble $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D' \iff (x, z, y) \in C$
> - i ces classes ne sont pas uniquement déterminées par l'axiome d'extension, car leurs "définitions" prescrivent uniquement leurs couples ou trouples.

> [!definition]+ Classe vide
> Il existe une et une seule classe qui n'a aucun élément.
> On dit que c'est la classe vide et on la note $\emptyset$
> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité)
> > L'axiome sue le graphe de la relation $\in$ fournit une classe $E$.
> > On peut alors former la classe $E \cap E^{\complement}$ qui, par construction, n'a aucun élément.
> > D'après l'axiome d'extentionnalité, c'est la seule telle classe.

> [!proposition]+ Axiome (NBG) : ensemble vide
> $\emptyset$ est un ensemble
> - i Sans cet axiome, rien ne garantit l'existence d'ensembles

> [!definition] Univers
> La classe $U = \emptyset^{\complement}$ est appelée **univers**
> Par définition on a $x \in U$ pour tout ensemble $x$.
> Pour toute classe $C$ on a $C \subseteq U$
> - i Le [[paradoxe de Russell]] montre qu'il existe une classe $R$ qui n'est pas un ensemble. Comme toute sous-classe d'un ensemble est un ensemble aussi, on sait alors que $U$ n'est pas un ensemble.
^definition

> [!definition] Union d'une classe
> Soit $C$ une classe
> Il existe une unique classe dont les éléments sont les éléments des éléments de $C$.
> On note cette classe $\cup C$ (l'union de $C$).
> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité)
> > L'existence est évidente par définition, mais on peut également utiliser l'union de éléments de $C$.
> > L'unicité est donnée par l'axiome d'extentionnalité.
^def-union-monadique

> [!proposition]+ Produit cartésien
> Soient $A$ et $B$ des classes, il existe une unique classe dont les éléemnts sont les $(x, y)$ avec $x \in A$ et $y \in B$.
> On note cette classe $A \times B$
> ---
> Plus généralement, soit $n \in \mathbb{N}^{*}$, soient $A_1, \dots, A_{n}$ des classes
> Il existe une classe et une seule dont les éléments sont les $n$-uplets $(x_1, \dots, x_{n})$ avec $x_1 \in A_1, \dots, x_{n} \in A_{n}$
> On note cette classe $A_1 \times \cdots \times A_{n}$
> - i Lorsque $A_1 = \cdots = A_{n}$ on note $A_1 \times \cdots \times A_{n} = A^{n}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité)
> > On sait par l'axiome d'extensionnalité qu'il existe au plus une telle classe (unicité).
> > Il existe une classe $A'$ telle que $\forall x,\quad (x, y) \in A' \iff y \in A$ (telle que $A = \operatorname{dom}(A')$)
> > Il existe une classe $B'$ telle que $\forall y,\quad (x, y) \in B' \iff x \in B$ (telle que $B = \operatorname{codom}(B')$)
> > Alors, $A' \cap B'$ existe (par axiome d'intersection) et convient :
> > $\forall x,\forall y,\quad (x, y) \in A'\cap B' \implies \begin{cases} x \in A \text{ car } (x, y) \in A' \cap B' \implies (x, y) \in A' \implies x \in A\\ y \in B \text{ car } (x, y) \in B' \end{cases}$
> > 

> [!proposition]+ Axiome (NBG) : Union d'un ensemble
> Si $x$ est un ensemble, alors $\cup x$ est un ensemble aussi.
> $\mathcal{M}(x) \implies \mathcal{M}(\cup x)$


## Graphes

> [!definition] Graphe
> Une classe $C$ est un **graphe** si tous ses éléments sont des couples.

> [!proposition]+ Image directe
> Soit $G$ un graphe et $C$ une classe.
> Il existe une unique classe (notée $G[C]$ ou $G\langle C \rangle$) dont les éléments sont les ensembles $y$ tels qu'il existe $x \in C$ vérifiant $(x, y) \in G$
> Autrement dit :
> $G[C] = \text{les ensembles } y \text{ tels que } \exists x,\quad x \in C \wedge (x, y) \in G$
> ou encore : $y \in G[C] \iff \mathcal{M}(y) \wedge (\exists x,\quad x \in C \wedge (x, y) \in G)$
> > [!démonstration]- Démonstration (existence et unicité)
> > La classe $G \cap (C \times U)$ a pour éléments les couples $(x, y)$ tels que $x \in C$ et $(x, y) \in G$.
> > Son [[théorie des ensemble NBC#^ax-codomaine|codomaine]] convient : $G[C] = \operatorname{codom}(G \cap (C \times U))$
> > Cela montre l'existence de $G[C]$
> > Son unicité est donnée par extentionnalité

> [!definition] Classe fonctionnelle
> Une classe $F$ est dite **fonctionnelle** si pour tous ensembles $x, y, z$ tels que $(x, y) \in F$ et $(x, z) \in F$ on a $y = z$