up:: [[tribu borélienne]]
#s/maths/algèbre 

Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des [[partie ouverte d'un espace métrique|ouverts]] de $\mathbb{R}$
Soit $\mathcal{O}_{2}$ l'ensemble des [[partie ouverte d'un espace métrique|ouverts]] bornés à extrémités rationnelles.

Démontrons que $\sigma(\mathcal{O}_{2}) = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ la [[tribu borélienne]] sur $\mathbb{R}$.

- $\mathcal{O}_{2} \subset \mathcal{O}$ donc $\sigma(\mathcal{O}_{2}) \subset \sigma (\mathcal{O}) = \mathcal{B(\mathbb{R})}$
- On veut montrer $\sigma(\mathcal{O}) \subset \sigma(\mathcal{O}_{2})$
Il suffit pour cela de montrer que $\mathcal{O} \subset \sigma(\mathcal{O}_{2})$, car si $\sigma(\mathcal{O}_{2})$ contient $\mathcal{O}$, alors il contient forcément la plus petite tribu contenant $\mathcal{O}$, c'est-à-dire qu'il contient forcément $\sigma(\mathcal{O})$.

Soit $O \in \mathcal{O}$

$\displaystyle O = \bigcup _{(r, p) \in I} ]r - p; r+p[$
où $I = \{ (r, p) \in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}^{*+} \mid \left]r-p; r+p\right[ \in O\}$

Chaque intervalle ouvert $]r -p; r+p[$ est inclus dans $O$

Comme, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^{*+}$ sont dénombrables, alors leur [[produit cartésien]] $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}^{*+}$ est [[ensemble infini dénombrable|dénombrable]], et donc $I$ est dénombrable.

Quel que soit $x \in O$
Quels que soient $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $x \in ]a; b[ \subset O$, on peut trouver $r_1, r_2 \in \mathbb{Q}$ tels que $a < r_1 < x < r_2 < b$ (car $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$).
Alors, si on pose $r_0 = \dfrac{r_1+r_2}{2}$ et $\rho_0 = \dfrac{r_1-r_2}{2}$, on a :
$\displaystyle x \in \left]r_0-\rho_0; r_0 + \rho_0\right[ \subset \bigcup _{(r, \rho ) \in I} ]r-\rho; r+\rho[$
$O$ est ouvert, donc $\exists a, b \in \mathbb{R}, \quad x \in ]a; b[ \subset O$