up:: [[tribu]]
#maths/algèbre 

> [!definition] tribu borélienne
> Soit $E$ un ensemble
> Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des [[ensemble ouvert|ouverts]] de $E$
> La tribu borélienne sur $E$ est la [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée]] par les ouverts de $E$, soit :
> $\mathcal{B}(E) = \sigma(\mathcal{O})$
^definition

# Propriétés


> [!info] Ensembles qui engendrent $\mathcal{B}(\mathcal{\mathbb{R}})$
> $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ est engendrée (au choix) par :
> 1. L'ensemble des [[ensemble ouvert|ouverts]] bornés de $\mathbb{R}$ (qu'on notera $\mathcal{O}_{1}$)
> 2. L'ensemble des intervalles [[ensemble ouvert|ouverts]] bornés à extrémités rationnelles (qu'on notera $\mathcal{O}_{2}$)
> > [!démonstration] Démonstration
> > Comme $\mathcal{O}_{2} \subset \mathcal{O}_{1} \subset \mathcal{O}$, et comme $\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma(\mathcal{O})$, alors il suffit de montrer que $\sigma(\mathcal{O}_{2}) = \sigma(\mathcal{O})$ pour avoir aussi $\sigma(\mathcal{O}_{1}) = \sigma(\mathcal{O})$. [[démonstration la tribu borélienne est engendrée par l'ensemble des ouverts bornés à extrémités rationnelles|démonstration]]
> 3. L'ensemble des intervalles $] -\infty; a[$ avec $a \in \mathbb{R}$ [[démonstration la tribu borélienne est engendrée par l'ensemble des demi droites]]
> 4. L'ensemble des intervalles $] -\infty; a]$ avec $a \in \mathbb{R}$