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alias: ["converge", "convergence"]
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up::[[suite]]
#maths/analyse

> [!definition] [[suite convergente]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $X$
> Soit $l \in X$
> On dit que la suite $(u_{n})$ converge vers $l$ quand :
> $\forall \varepsilon >0, \quad \exists n_0 \in N, \quad \forall n \geq n_0, \quad d(u_{n}, l) < \varepsilon$
^definition

> [!definition] [[suite convergente]] sur $\mathbb{R}$
> Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ une [[suite]] réelle
> On dit que $(u_{n})$ _converge vers $l \in \mathbb{R}$_ si :
> $\forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq n_{0}, \quad |u_{n} - l| \leq \varepsilon$
^definition-R

> [!idea] Intuition
> Une suite $(u_{n})$ converge vers $l$ quand la suite se rapproche autant que l'on veut de $l$ pour $n$ suffisament grand.

# Propriétés

> [!proposition] toute suite convergente est bornée
> Si une suite converge, alors elle est bornée
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> > Soit $(u_{n}) \in X^{\mathbb{N}}$ une suite qui converge vers $l$
> > Prenons $\varepsilon = 1$ dans la définition de la convergence de $(u_{n})$ :
> > $\exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) \leq 1$
> > Soit $r > \max (\underbrace{d(u_0, l), d(u_1, l), \dots, d(u_{N-1}, l)}_{N \text{ termes }}, 1)$
> > On a un nombre fini de termes $< +\infty$ donc le max est $< +\infty$
> > Donc, on a bien $\forall n \in \mathbb{N}, \quad d(u_{n}, l) < r$, c'est-à-dire que la suite est [[fonction bornée|bornée]]
> > On a $d(u_{n}, l) \leq \max(\cdots) < r$ si $n < N$
> > et $d(u_{n}, l) \leq 1 < r$  si $n \geq N$, par le choix de $N$
> > donc, $\forall n \in \mathbb{N}, \quad d(u_{n}, l) < r$
> > Et donc $(u_{n})$ est bien bornée, puisqu'elle est contenue dans la boule $B(l, r)$

> [!proposition] Unicité de la limite
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Si $(u_{n})_{n}$ est une suite convergente d'éléments de $X$, alors sa limite $\lim\limits_{ n \to \infty }(u_{n})$ est unique.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soient $l, l' \in X$ tels que $U_{n} \xrightarrow{+\infty} l$ et $u_{n} \xrightarrow{+\infty} l'$
> > Soit $\varepsilon >0$. Comme $(u_{n})$ converge vers $l$, il existe un range $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) < \dfrac{\varepsilon}{2}$
> > De même, il existe un rang $N' \in N$ tel que $\forall n \geq N', \quad d(u_{n}, l') < \dfrac{\varepsilon}{2}$
> > Si $m = \max(N, N')$, on a alors :
> > - $m \geq N$ donc $d(u_{m}, l) < \dfrac{\varepsilon}{2}$
> > - $m \geq N'$, donc $d(u_{m}, l') < \dfrac{\varepsilon}{2}$
> > En particulier, on a $d(l, l') \leq \underbrace{d(l, u_{m})}_{< \frac{\varepsilon}{2}} + \underbrace{d(u_{m}, l')}_{< \frac{\varepsilon}{2}}$
> > D'où : $d(l, l') < \varepsilon$
> > Comme $\varepsilon$ est quelconque, on en déduit que $d(l, l') = 0$
> > En effet, si $d(l, l') >0$, on pourrait prendre $\varepsilon = d(l, l')$ vu que $\varepsilon$ est quelconque.
> > Le raisonnement ci-dessus donnerait alors $d(l, l') < d(l, l')$, ce qui est absurde.
> > On a donc bien $d(l, l') = 0$, et donc $l = l'$ par définition des distances.
> > Alors, on peut bien conclure qu'il ne peut existe qu'une seule limite pour $(u_{n})$.
> 
> > [!démonstration]- Autrement
> > Soit $(X, d)$ un espace métrique,
> > Soient $x, y \in X$
> > On remarque que, comme $d(x, y) \geq 0$, le fait que $(u_{n})$ converge vers $l \in X$, on a :
> > $\forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) < \varepsilon \quad\iff \quad \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad |d(u_{n}, l)| < \varepsilon$
> >  Autrement dit, $u_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} l$ ssi $d(u_{n}, l) \xrightarrow{n \to +\infty} 0$
> >  Maintenant, si $l, l' \in  X$ sont limites de $(u_{n})$, on a :
> >  $0 \leq d(l, l') \leq d(l, u_{n}) + d(l', u_{n})$ (par l'[[inégalité triangulaire]])
> >  En passant à la limite $n \to +\infty$, on obtient :
> >  $\begin{array}{rccc} 0 &\leq& d(l, l') &\leq& \lim\limits_{ n \to \infty } d(l, u_{n}) &+& \lim\limits_{ n \to \infty } d(l', u_{n}) \\&&&\leq& 0 &+& 0\end{array}$
> > Donc $d(l, l') = 0$, et on peut conclure que $l = l'$, c'est à dire que deux limites de $(u_{n})$ sont toujours égales.
> > On a bien montré l'unicité de la limite de $(u_{n})$
> 

> [!proposition] Proposition 
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $(u_{n})$ une suite d'éléments de $X$ qui converge vers $l \in X$
> Soit $x_0 \in X$
> $d(u_{n}, x_0) \xrightarrow{n \to +\infty} d(l, x_0)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Par la [[seconde inégalité triangulaire]] :
> > $|d(u_{n}, x_0) - d(l, x_0)| \leq d(u_{n}, l)$
> > Comme $d(u_{n}, l) \xrightarrow{n \to +\infty} 0$ on sait alors que $d(u_{n}, x_0) \xrightarrow{n \to +\infty} d(l, x_0)$
> 
> > [!corollaire] Corollaire 
> > Si $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}}$ est une suite convergente, alors $(u_{n})$ est [[fonction bornée|bornée]]
> > 
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > Soit $l$ la limite de $(u_{n})$
> > > Prenons $x_0 = l$
> > > $(n \mapsto d(u_{n}, l))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite qui converge vers $0$, donc elle est bornée
> 

> [!proposition] Linéarité des limites
> Si $(E, \|\cdot\|)$ est un [[espace vectoriel]] normé.
> Soient $(x_{n}), (y_{n}) \in E^{\mathbb{N}}$ et $(\lambda _{n}) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$
> avec $\begin{cases} x_{n} \to x_{\infty} && x_{\infty} \in E\\ x_{n} \to x_{\infty} && x_{\infty} \in E\\ \lambda _{n} \to \lambda _{\infty} && \lambda _{\infty} \in \mathbb{R} \end{cases}$
> Alors la suite $(\lambda _{n}x_{n} + y_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\lambda _{\infty}x_{\infty} + y_{\infty}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On veut montrer que $d(\lambda _{n} x_{n}+y_{n}, \lambda _{\infty}x_{\infty}+y_{\infty}) \to 0$
> > c'est-à-dire $\|(\lambda _{n}x_{n}+y_{n}) - (\lambda _{\infty}x_{\infty}+y_{\infty})\| \to 0$
> > Or :
> > $$\begin{align}
> > \|(\lambda _{n}x_{n}+y_{n}) - (\lambda _{\infty}x_{\infty}+y_{\infty})\| &= \|(\lambda _{n}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty}) + (y_{n}-y_{\infty})\|\\
> > &\leq \|\lambda _{n}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty}\| + \underbrace{\|y_{n}-y_{\infty}\|}_{\to 0} \\
> > &\leq \|(\lambda _{n}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{n}) + (\lambda _{\infty}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty})\| + \|y_{n} - y_{\infty}\| \\
> > &\leq \underbrace{\|\lambda _{n}x_{n} + \lambda _{\infty}x_{n}\|}_{(1)} + \underbrace{\|\lambda _{\infty}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty}\|}_{(2)} + \underbrace{\|y_{n} - y_{\infty}\|}_{(3)}
> > \end{align}$$
> > - $(3)$ : $\|y_{n}-y_{\infty}\| = d(y_{n}, y_{\infty}) \xrightarrow{n \to \infty} 0$
> > - $(2)$ : $\|y_{\infty}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{\infty}\| = \underbrace{|\lambda _{\infty}|}_{\substack{\text{constant}\\\\\\ < \infty}}\cdot \underbrace{\|x_{n}-x_{\infty}\|}_{\xrightarrow{n \to \infty}0} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ 
> > - $(1)$ : $\|\lambda _{n}x_{n} - \lambda _{\infty}x_{n}\| = \underbrace{|\lambda _{n}-\lambda _{\infty}|}_{\to 0} \cdot \underbrace{\|x_{n}\|}_{\substack{\text{converge,} \\\text{donc bornée}}} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ 
> > Puisque $(1)$, $(2)$ et $(3)$ tendent vers $0$ quand $n \to 0$, on a bien $\|(\lambda n x_{n}+y_{n}) -\|$
> > ...
>