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aliases:
  - ouvert
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up:: [[espace métrique]]
sibling:: [[partie fermée d'un espace métrique]]
#maths/algèbre 

> [!definition] [[partie ouverte d'un espace métrique]]
> Une partie $O \subset X$ est dite ouverte si :
> $\forall x \in O, \quad \exists r > 0, \quad B(x, r) \subset O$
^definition

> [!idea] intuition
> Un ensemble est ouvert si il ne contient aucun point de son bord

# Propriétés

> [!proposition] $\emptyset$ est un fermé
> L'ensemble vide est un fermé de tout espace métrique

> [!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts
> Soit $A \subset X$ une partie de $X$
> $A \text{ est fermée} \iff X \setminus A \text{ est ouverte}$
> ([[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|démonstration]])

> [!proposition] Union et intersection d'ouverts
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des parties ouvertes de $X$
> On a :
> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O}, \quad \bigcup _{O \in \Omega} O \quad\text{est ouverte}$
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Si $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille d'ouverts
> > Soit $\displaystyle U = \bigcup _{O \in \Omega} O$
> > Soit $x \in U$ quelconque, $\exists O \in \Omega, \quad x \in O$
> > Comme $O$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset O$
> > Or, $O \subset U$ donc $B(x, r) \subset U$
> > et donc, $U$ est ouverte
> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O} \text{ finie}, \quad \bigcap _{O \in \Omega}O \quad\text{est ouverte}$
>     - ! Une intersection infinie d'ouverts peut être fermée. Par exemple : $\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left] -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right[ = \{  0 \}$
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille finie d'ouverts.
> > Soit $\displaystyle V = \bigcap _{O \in \Omega} O$
> > Si $x \in V$, alors $\forall O \in \Omega ,\quad x \in O$
> > Donc, pour chaque $O \in \Omega$, il existe $r_O > 0$ tel que $B(x, r_O) \subset O$
> > Si $\displaystyle r = \min_{O \in \Omega} r_0 >0$
> > On a donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset B(x, r_O)$
> > donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset O$
> > et donc $\displaystyle B(x, r) \subset \bigcap _{O \in \Omega} O$
> > On a trouvé $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset V$
> > Donc $V$ est ouverte
^union-intersection-ouverts

# Exemples

- = $\emptyset$ est un ouvert
- = $X$ est un ouvert de $(X, d)$


> [!example] $]0; 1[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$
> Quel que soit $x \in ]0; 1[$
> - si $x \leq \frac{1}{2}$, alors $]0; 2x[ = B(x, x) \subset ]0; 1[$
> en effet, :
> $\begin{align} B(x, x) &= \{ y \in \mathbb{R}\mid d(x, y) < x \} \\&= \{ y \in \mathbb{R} \mid |y-x| < x \} \\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid-x < y-x < x \} \\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid -x+x<y<x+x \}\\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid 0<y<\underbracket{2x}_{\leq_1} \} \end{align}$
> On a donc bien $B(x, x) \subset ]0; 1[$
> - si $x > \frac{1}{2}$, alors $]2x - 1; 1[ = B(x, 1-x) \subset ]0; 1[$
> en effet :
> $\begin{align} B(x, 1-x) &= \{ y\in\mathbb{R}\mid |y-x| < 1-x \}\\&= \{ y \in \mathbb{R}| x-1 < y-x < 1-x \}\\&= \left\{  y\in\mathbb{R}\mid \underbracket{2x-1}_{>0 \text{ si } x > \frac{1}{2}} < y < 1 \right\} \\&= \subset ]0; 1[ \end{align}$


> [!example] $[0; 1[$ n'est pas un ouvert de $\mathbb{R}$
> en effet, on a, pour tout $r > 0$ :
> $\begin{align} B(0, r) &= \{ y \in \mathbb{R}\mid d(y, 0) < r \}\\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid |y|<r \}\\&= \{ y\in\mathbb{R}\mid -r<y<r \} \end{align}$
> $- \dfrac{r}{2} \notin [0; 1[$ car $-\dfrac{r}{2} < 0$
> mais $- \dfrac{r}{2} \in B(0, r)$
> Donc, il n'existe aucun $r>0$ tel que $B(0, r) \subset [0, 1[$
> Or, $0 \in [0; 1[$
> Donc $[0; 1[$ n'est pas ouvert dans $\mathbb{R}$