--- excalidraw-plugin: parsed tags: - excalidraw excalidraw-open-md: true --- up::[[intégration]] sigling:: [[intégrale de lebesgue]] author::[[Riemann]] #maths/analyse > [!definition] Intégrale de Riemann > Soit $\varphi\in\varepsilon([a,b])$ une [[fonction escalier]] sur $[a,b]$ > Soit $s=(x_i)_{0\leq i\leq n}\in\cal S([a,b])$ une [[Subdivision d'un intervalle|subdivision]] sur $[a,b]$ _adaptée_ à $\varphi$ > On note $\lambda_i$ la valeur de $\phi$ sur $]x_i,x_{i+1}[$ > On montre que le réel : > $\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\Big( (x_i-x_{i+1})\lambda_i \Big)$ > > ne dépend pas de la subdivision adaptée à $\phi$. > Ce réel est appelé l'_intégrale de $\varphi$ sur $[a,b]$_ et noté $\displaystyle\int_a^b\varphi(x)\, dx$ ^definition `$= "![[" + dv.current().file.name + ".svg|700]]" ` # Fonction intégrable au sens de Riemann une [[fonction bornée]] $f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ est _intégrable au sens de Riemann_, ou encore _Riemann intégrable_, si : Pour tout $\varepsilon>0$ il existe des fonctions en escalier $\varphi$ et $\psi$ sur $[a,b]$ telles que : $\displaystyle \forall x\in[a,b], \varphi(x)\leq f(x)\leq \psi(x)$ et $\displaystyle\int_a^b\Big( \psi(x) - \varphi(x) \Big) \, dx \leq \varepsilon$ Si $f$ est _Riemann intégrable_ sur $[a,b]$, on a : $$ \displaystyle \sup\left\{ \int_a^b\varphi(x)\, dx \Big| \varphi\in\varepsilon([a,b]), \varphi\leq f\right\} = \inf\left\{ \int_a^b \psi(x) \, dx \Big| \psi\in\varepsilon([a,b]), f\leq\psi \right\} $$ Et ce nombre est appelé l'_intégrale_ de $f$ sur $[a,b]$ et noté $\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx$ ## Intégrale par les sommes de Riemann Soit $\sigma = (s_{0}, \dots, s_{n})$ une [[Subdivision d'un intervalle|subdivision]] de $[a; b]$. Soit $X = (x_{0}, \dots, x_{n-1})$ le $n$-uplet de $[a;b]$ adapté à $\sigma$ Soit $f \in C^{0}([a;b])$ On définit la somme de Riemann de $f$ associée à $\sigma$ et $X$ par : $\displaystyle S_{\sigma, X}(f) = \sum\limits_{i=0}^{n-1}\Big((s_{i+1}-s_{i})f(x_{i})\Big)$ Ce nombre est la somme des aires des rectangles de base $[s_{i}; s_{i+1}]$ et de hauteur $f(x_{i})$, donc une approximation de l'aire sous le graphe $f$. En prenant des subdivisions de plus en plus fines, on converge vers l'aire sous le graphe, donc vers l'intégrale. > [!definition]- Lemme (convergence avec des subdivisions plus fines) > Soit $f \in C^{0}([a, b])$ > On note $\omega$ le module de continuité de $f$ > Soient $\sigma = (s_{0}, \dots, s_{n})$ et $\tau = (t_{0}, \dots, t_{n})$ deux subdivisions de $[a, b]$ telles que $\tau$ est plus fine que $\sigma$ > On pose : > - $X = (x_{0}, \dots, x_{n-1})$ un $n$-uplet de $[a, b]$ associé à $\sigma$ > - $Y = (y_{0}, \dots, y_{n-1})$ un $n$-uplet de $[a, b]$ associé à $\tau$ > On a alors : > $\left| S_{\sigma, X}(f) - S_{\tau, Y}(f) \right| \leq (b - a)\omega(P(\sigma))$ > > > [!info] Démonstration > > Comme $\tau$ est plus fine que $\sigma$, pour tout $k \in \{ 0, \dots, n \}$, il existe $i_{k}\in [\![ 0; m]\!]$ tel que $s_{k} = t_{i_{k}}$. Ainsi si $i_{k} \leq i < i_{k+1} - 1$, on a $y_{i} \in [t_{i}, t_{i+1}] \subset [s_{k}, s_{k+1}]$ # Propriétés Toute fonction réelle [[fonction continue|continue]] sur un segment $[a,b]$ est _Riemann intégrable_. De même pour toute [[fonction continue par morceaux]], pour toute fonction continue sauf en un nombre fini de points, pour toute fonction continue sauf en un nombre [[ensemble infini dénombrable|dénombrable]] de points. Toute fonction réelle [[fonction monotone|monotone]] suru un segment $[a,b]$ est _Riemann intégrable_. Soient $f$ et $g$ deux fonctions _Riemann intégrables_ sur $[a,b]$ et soit $k\in\mathbb{R}$, Alors les fonctions $k\cdot f$ et $f+g$ sont _Riemann intégrables_. De plus : $\displaystyle \int_a^b (k\cdot f)(x) \, dx = k\cdot\int_a^b f(x)\, dx$ et $\displaystyle \int_a^b (f+g)(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x) \, dx$ (L'intégration est un [[morphisme]] sur l'ensemble des fonctions muni de l'addition et de la multiplication externe). ## Relation de Chasles Soient $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$ tel que $a