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sr-due: 2023-08-06
sr-interval: 365
sr-ease: 346
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up::[[structure algébrique]]
#maths/algèbre 

> [!definition] groupe
> Un ensemble $G$ muni d'une [[loi de composition interne]] $*$ est un _groupe_ ssi :
> - La loi $*$ est [[associativité|associative]]
> - $G$ possède un [[élément neutre]] pour $*$
> - Tout élément de $G$ possède un [[éléments inversibles|inverse]] par $*$
^definition

> [!definition] groupe
> Un groupe est la donnée d'un ensemble non vide $G$ et d'une [[loi de composition interne]] $*$ tels que :
> - $*$ est [[associativité|associative]]
>     - $\forall (a, b, c) \in G^{3}, \quad a*(b*c) = (a*b)*c = a*b*c$
> - $G$ admet un [[élément neutre]] pour $*$
>     - $\exists e \in G, \quad \forall g \in G, \quad e*g=g*e=g$
>     - on montre qu'il est unique
> - tout élément de $G$ possède un inverse pour $*$
>     - $\forall g \in G, \quad \exists h \in G, \quad g*h = h*g = e$ (l'élément neutre)
>     - on montre qu'il est unique
^definition-formelle

# Propriétés

- Un groupe n'est jamais vide
    - car il ne pourrait pas posséder d'élément neutre
- Il y a un **unique** élément neutre, que l'on note $e_{G}$
- Chaque élément possède un **unique** [[éléments inversibles|inverse]]
    - l'inverse de $g$ est noté $g^{-1}$

- Si $a$ et $b$ commutent, alors $a^{-1}$ et $b^{-1}$ commutent aussi  (c.a.d. $a * b = b*a \implies a^{-1} * b^{-1} = b^{-1}*a^{-1}$)
- Les équivalences suivantes sont véfifiées :
    - $a*x = a*y \iff x=y$
    - $x*a = y*a \iff x = y$
    - $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$
    - $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$
- L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrie : $a^{*n}$ ou $a^n$
    - On pose $a^{*0}=e$
    - On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$
    - Alors: $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$

> [!info] Inverse d'un produit d'éléments
> - pour $g_1,  g_2, \dots, g_{n-1}, g_{n} \in G$, on a $(g_1*g_2*\cdots*g_{n-1}*g_{n})^{-1} = g_{n}^{-1}*g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_2^{-1}*g_1^{-1}$
> - [!]  il faut bien inverser l'ordre des éléments
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Par réccurence sur $n \in \mathbb{N}^{*}$
> > 1. Initialisation
> > On veut monter que $g_1^{-1} = g_1^{-1}$. C'est évident.
> > 2. Hérédité
> > On suppose la propriété vraie pour un $n-1 \in \mathbb{N}^{*}$
> > Pour $g_1, \dots, g_{n} \in G$, on a :
> > $$\begin{align}
> > (g_1*\cdots*g_{n})*(g_{n}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) &= g_1*\cdots*g_{n-1}*\underbrace{g_{n}*g_{n}^{-1}}_{e_{G}} * g_{n-1}^{-1} *\cdots*g_1^{-1} & \text{ par associativité} \\
> > &= (g_1*\cdots*g_{n-1})*e_{G}*(g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) \\
> > &= (g_1*\cdots*g_{n-1})*(g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) \\
> > &= e_{G } & \text{par hypothèse de récurrence}
> > \end{align}
> > $$

# Exemples

> [!smallquery]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
> ```breadcrumbs
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