up:: [[groupe]]
#maths/algèbre 

> [!definition] groupe des classes modulo $n$ premières avec $n$
> Soit $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid \mathrm{pgcd}(k, n) = 1 \}$
> $\left( (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times }, \times \right)$ est un [[groupe abélien]]
> - son élément neutre est $\overline{1}$
> - il est bien [[commutativité|commutatif]]
^definition

> [!info] Corollaire
> Si $p$ est un [[nombre premier]], alors $(\mathbb{Z} /p\mathbb{Z})^{\times } = (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})\setminus \{ \overline{0} \}$
> > [!démonstration] 
> > Tous les entiers $[\![ 1; p-1]\!]$ sont premiers avec $p$
> > 

# Propriétés
- $(\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times } = \{  \overline{ k} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}u = 1 \}$ [[démonstration d'une autre définition du groupe des classes modulo n premières avec n]]
- On note $\varphi(n) = \left| \{ k \in [\![1; n]\!] \mid \mathrm{pgcd}(k, n) = 1 \} \right|$ son cardinal. C'est la [[fonction indicatrice d'Euler]]

# Exemples

> [!example] $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^{\times}$
> $(\mathbb{Z} /10\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9} \} = \{ \pm \overline{1}, \pm \overline{7} \}$
> En particulier, $\varphi(10) = 4$