up:: [[espace]], [[distance]]
#maths/topologie 

> [!definition] espace métrique
> Soit $X$ un ensemble et $d$ une [[distance]] sur $X$.
> $(X, d)$ est appelé **espace métrique**
^definition

# Propriétés

> [!proposition] Produit d'espaces métriques
> Si $E$ et $F$ sont des $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]] métriques, alors leur produit $E \times F$ est aussi un espace métrique
> 

> [!proposition] Le complémentaire d'un fermé est ouvert
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $A \subset X$ une partie de $X$
> alors : $\boxed{A \text{ est fermée} \iff X\setminus A \text{ est ouverte}}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Supposons $A \subset X$ fermée
> > Soit $x \in X \setminus A$, on veut trouver $r>0$ tel que $B(x, r) \subset X \setminus A$
> > c'est-à-dire montrer que $\exists r >0, \quad B(x, r) \subset X \setminus A$
> > donc montrer que l'affirmation $\forall r>0 \quad B(x, r) \not\subset X \setminus A$ est fausse
> > c'est-à-dire montrer que  $\forall r >0, \quad B(x, r) \cap A \neq \emptyset$ es fausse
> > On procède donc par l'absurde.
> > Prenons, pour $n \in \mathbb{N}^{*}$,  $r = \frac{1}{n}$ dans l'affirmation $\forall r>0, B\left( x, \frac{1}{n} \right) \cap A$
> > il existe donc $x_{n} \in B\left( n, \frac{1}{n} \right) \cap A$, c'est-à-dire $x_{n} \in A$ et $d(x_{n}, x) < \frac{1}{n}$
> 
> On a donc une suite $(x_{n})$ d'éléments de $A$, et comme $\lim\limits_{ n \to \infty } d(x_{n}, x) = 0$, on sait que $(x_{n})$ converge vers $x$
> mais comme $A$ est vermée, on a donc $x \in A$ et $x \in X \setminus A$
> on a donc une contradiction : $x \in A$ et $x \notin A$
> Il existe donc $n \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $B\left( x, \frac{1}{n} \right) \cap A = \emptyset$ (on ne peut pas construire tous les termes de la suite $(x_{n})$)
> Autrement dit : $B\left( x, \frac{1}{n} \right) \subset X \setminus 1$
> On a donc trouvé $r=\frac{1}{n}$ tel que $B(x, r) \subset X \setminus A$ avec $x \in X \setminus A$ quelconque
> Donc $X \setminus A$ est ouvert.
>