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alias: [ "normal" ]
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up:: [[endomorphisme]]
title:: "$f \circ f^{*} = f^{*} \circ f$ (commute avec son [[endomorphisme adjoint|adjoint]])"
#maths/algèbre 

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> [!definition] endomorphisme normal
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
> Soit $f : E \mapsto E$ un [[endomorphisme linéaire]] de $E$.
> On note $f^{*}$ l'[[endomorphisme adjoint|adjoint]] de $f$.
> Alors, $f$ est **normal** ssi $f^{*}\circ f= f \circ f^{*}$
^definition

> [!definition] Autre définition
> $f$ est normal ssi $\forall x \in E, \quad \|f(x)\| = \|f^{*}(x)\|$

# Propriétés
 - les [[vecteur propre|vecteurs propres]] de $f$
 sont les mêmes que ceux de $f^{*}$

 - tout endomorphisme [[matrice symétrique|symétrique]], [[matrice antisymétrique|antisymétrique]] ou [[matrice orthogonale|orthogonal]] est normal