up:: [[norme]] 
title:: "$d(x, y) = \|y - x\|$"
#maths/algèbre 

> [!definition] distance
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
> Une application $d : E^{2} \to \mathbf{K}$ est une **distance** ssi :
> - $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
> - $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
> - $\forall x \in E, \quad d(x, x) = 0$
> - $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
> - $\forall (x, y, z) \in E^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
^definition

> [!definition] distance (définition à partir d'une [[norme]])
> Soit $(E, \langle\cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]] 
> Soit $\|\cdot\|$ la norme de cet espace ($\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle$)
> On définit une **distance** $d$ sur cet espace, à partir de la [[norme]] comme :
> $\boxed{d(x, y) = \|y - x\|}$
^definition-depuis-une-norme

# Propriétés


> [!info] Equivalence entre distance et norme
> Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application
> $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$
> est une distance
> [[démonstration qu'une norme peut former une distance|démonstration]]