up:: [[matrice hessienne]], [[déterminant d'une matrice|déterminant]], [[fonction de plusieurs variables]]
#maths/analyse 

> [!definition] déterminant hessien
> Le déterminant de la [[matrice hessienne]] d'une [[fonction de plusieurs variables]] $f$, noté $| H(f) |$.
^definition

# Propriétés

Les déterminants mineurs d'une [[matrice hessienne]] $H(f)$ permettent de calculer la nature des points critiques de la fonction $f$.

On définit les déterminants mineurs $\Delta _{i}f$ (avec $i \in [\![1; n]\!]$) comme les déterminants des sous-matrices carrées de $H(f)$ (qui partent du coin supérieur gauche de $H(f)$), et où $\Delta _{i}f$ est de taile $i \times i$.
On peut noter : $\Delta _{i}f = \det\; i\; i \uparrow H(f)$ en utilisant l'opérateur *take*.

On a alors les propriétés suivantes :
Soit $a$ un point critique (un point qui annulle le [[gradient d'une fonction|gradient]])
- $(1)$ si tous les $\Delta _{i}f(a) > 0$, alors le point $a$ est un minimum local
- $(2)$ si tous les $(-1)^{i}\Delta _{i}f(a) > 0$, alors le point $a$ est un maximum local
- si $(1)$ ou $(2)$ est respecté, sauf pour au moins un déterminant qui est nul, on ne peut pas conclure, par manque d'information
    - si tous les $\Delta _{i}f(a)$ non nuls respectent soit $(1)$, soit $(2)$
- dans tous les autres cas, c'est un point col
    - si les déterminants non-nuls ne respectent ni $(1)$, ni $(2)$