up:: [[norme]]
#maths/algèbre 

Soit $x \in E$
$0_{E} = x + (-1)x$

Alors, on a :
$$\begin{align}
0 =\|0_{E}\| &= \|x + (-1)x\| \\
&\leq \|x\| + \|(-1)x\| & \text{par l'inégalité triangulaire} \\
&\leq \|x\| + |-1|\cdot\|x\| & \text{par absolue homogénéité} \\
&\leq \|x\| + \|x\| \\
0&\leq 2\|x\| \\
0&\leq \|x\|
\end{align}
$$
Donc, toute norme est bien positive