up::[[fonction sinus hyperbolique|sh]]
sibling::[[démonstration expression de l'arg cosinus hyperbolique]]
description::""
#maths/trigonométrie #démonstration


$$\begin{align*}
\mathrm{sh}(x) = y &\iff \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} = y\\
&\iff e^{x}-e^{-x} = 2y\\
&\iff e^{x} - \frac{1}{e^{x}} = 2y\\
&\iff (e^{x})^{2} - 1 = 2y(e^{x})\\
&\iff (e^{x})^{2} - 2y(e^{x}) - 1 = 0\\
&\qquad \Delta = 4y^{2} + 4 \text{ comme } y \geq 1, \Delta > 0\\
&\qquad\text{Donc, une unique solution :}\\
&\qquad \qquad S = \{y\}\\
&\iff 
\end{align*}$$

- [x] recopier la démonstration de l'expression de $\arg \mathrm{sh}$ #task  ✅ 2024-05-28T10:45