up:: [[boule]]
sibling:: [[boule fermée]]
#maths/algèbre 

> [!definition] boule ouverte
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]], on appelle **boule ouverte** de centre $x_0 \in X$ et de rayon $r \geq 0$ la partie $B(x_0, r)$ de $X$ définie par :
> $B(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x_0, x) < r \}$
^definition

> [!example] Exemple avec la [[distance euclidienne]]
> ![[boule ouverte 2024-09-09 10.28.55.excalidraw|300]]
^example

> [!idea] autres notations pour les boules ouvertes
> $B(x_0, r)$, $B_{r}(x_0)$, $B_{x_0}(r)$, $B^{o}_{r}(x_0)$

# Propriétés

> [!proposition] Toute boule ouverte est ouverte
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> $B(x_0, r) = \{ y\in X \mid d(x_0, x) < r\}$ est un ouvert de $X$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $x \in B(x_0, r)$
> > si $r_{x} = r - d(x_0, x) > 0$
> > on va voir que $B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r)$
> > En effet, si $y \in B(x, r_{x})$, on a :
> > $d(y, x) < r_{x}$
> > $d(y, x) < r-d(x_0, x)$
> > $d(x_0, x) + d(x, y) < r$
> > $d(x_0, y) < r$ par inégalité triangulaire
> > et donc $y \in B(x_0, r)$
> > On a bien montré $B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r)$
> 

> [!proposition] Proposition 
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soient $x_0, y_0 \in X$ et $r, r' \in \mathbb{R}^{+*}$
> On a :
> $B(x_0, r) \subset B(y_0, r')$ pour $r' \geq r + d(x_0, y_0)$

# Exemples

- = Voir [[Exemples de boules]]