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alias: [ "base" ]
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up::[[espace vectoriel]]
title::"[[famille de vecteurs]] [[famille de vecteurs libre|libre]] et [[famille de vecteurs génératrice|génératrice]]"
#maths/algèbre

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> [!definition] 
> Soit $(E, +, \cdot)$ un [[espace vectoriel]] réel, et $\{u_1,\ldots,u_k\}$ une [[famille de vecteurs]] de $E$
> La famille $\{u_1,\ldots,u_k\}$ est une _base_ lorsqu'elle est simultanément [[famille de vecteurs génératrice|génératrice]] et [[famille de vecteurs libre|libre]].
^definition

# Propriétés
Soit $E$ un espace vectoriel
Soit $B$ une base de $E$
 - $\mathrm{card}\; G = \dim E$

Si une famille $\{u_1,\ldots,u_k\}$ est _base_ d'un [[espace vectoriel]] $(E,+,\cdot)$,
tout vecteur de $E$ se décompose de façon **unique** sous la forme $u = \lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ku_k$
c'est-à-dire comme une [[combinaison linéaire]] des vecteurs de cette base.


Soit $B=\{u_1,\ldots,u_n\}$ une famille de $n$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$, On a l'équivalence suivante :
 - $B$ est une _base_ de $\mathbb{R}^n$ $\iff$ $\det(u_1;\ldots;u_n) \neq 0$ 
C'est-à-dire qu'une famille de vecteurs est une _base_ ssi la matrice formée par ses vecteurs (colonne ou ligne) à un [[déterminant d'une matrice|déterminant]] non nul.

> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
> ```dataview
> LIST title
> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
> WHERE file != this.file
> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up, file.name
> ```