up:: [[automorphisme]] 
title:: "[[isomorphisme]] [[application linéaire|linéaire]] d'un ensemble dans lui-même"
#maths/algèbre 

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Un _automorphisme linéaire_ est un [[automorphisme]] qui est aussi une [[application linéaire]].

> [!définition]
> un _automorphisme linéaire_ est un [[isomorphisme linéaire]] de $(E, *)$ lui même

> [!définition]
> Soit $(E, +, \cdot)$ un $\mathbf{K}$ [[espace vectoriel]] 
> une [[application]] $f$ est un [[automorphisme linéaire]] de $E \to F$ ssi :
>  - $\forall x \in E, f(x) \in E$ (soit $E = F$)
>  - $\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in\mathbf{K}, f(\lambda u+v) = \lambda f(u)+f(v)$ ($f$ est [[application linéaire|linéaire]])
>  - $f$ est un [[isomorphisme]] :
>      - $\forall (u, v) \in E^{2}, f(u+_{E}v) = f(u) +_{F} f(v)$ ($f$ est un [[morphisme]]) (nécessaire puisqu'on à $E = F$)
>      - $f$ est [[bijection|bijective]]

> [!définition]
> Soit $(E, +, \cdot)$ un $\mathbf{K}$[[espace vectoriel]] 
> une [[application]] $f$ est un [[automorphisme linéaire]] de $E \to F$ ssi :
>  - $f$ est [[application linéaire|linéaire]] 
>  - $f$ est [[bijection|bijective]]