up:: [[groupe]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] groupe symétrique d'indice $n$
> Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$
> Soit $\mathfrak{S}_{n}$ l'ensemble des [[bijection|bijections]] $\{ 1,\dots,n \} \to \{ 1, \dots, n \}$
> On appelle **groupe symétrique d'indice $n$** le groupe $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$
> - Sont élément neutre est $Id_{\{ 1,\dots,n \}}$ 
> - L'inverse de $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ est la bijection [[application réciproque|réciproque]] $\rho$ donnée par $\forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^{2}, \quad \rho(i) = j \iff i = \sigma(j)$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Cardinal
> ${\# \mathfrak{S}_{n} = n!}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\sigma(1)$ : $n$ choix, parmi $\{ 1, 2, \dots, n \}$
> > $\sigma(2)$ : $n-1$ choix, parmi $\{ 1, 2, \dots n \} \setminus \{ \sigma(1) \}$
> > $\sigma(3)$ : $n-2$ choix, parmi $\{ 1, 2, \dots n \} \setminus \{ \sigma(1), \sigma(2) \}$
> > $\vdots$
> > $\sigma(n-1)$ : 2 choix, parmi $\{ 1, 2, \dots, n \} \setminus \{ \sigma(1), \sigma(2), \dots, \sigma(n) \}$
> > $\sigma(n)$ : 1 seul choix restant
> > 
> > D'où suit que le nombre d'éléments de $\mathfrak{S}_{n}$, qui est le nombre de manières de choisir $\sigma(1), \sigma(2), \dots , \sigma(n-1)\text{ et } \sigma(n)$ , est $n!$
> > 

> [!proposition]+ Commutativité
> - Les groupes symétriques d'indice $n \leq 2$ sont commutatifs
> - Les groupes symétriques d'indice $n \geq 3$ sont non-commutatifs


# Exemples

$\mathfrak S_2 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} \right\}$

$\mathfrak S_3 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}\right\}$