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up: "[[dérivation]]"
tags: "#s/maths/analyse"
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> [!proposition]+ 
> Soit $x_0 \in E$ un point
> Soient $f, g \in \mathcal{D}^{1}(E, F)$ deux fonctions dérivables avec $f(x_0)= g(x_0) = 0$
> $$\lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$$
> - ! Il faut que $f(x_0) = 0$ et $g(x_0) = 0$
^theoreme

> [!démonstration] Démonstration
> $$\begin{aligned}
> \lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} &= \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\\[3ex]
> &= \lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac{\dfrac{f(x)}{x-x_0}}{\dfrac{g(x)}{x-x_0}}\\[3ex]
> &= \lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}}{\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\
> \end{aligned}$$
^demonstration