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aliases:
  - connexe
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up:: [[espace métrique]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[espace métrique connexe]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]].
> On dit que $X$ est **connexe** si $\emptyset$ et $X$ sont les seules parties à la fois ouvertes et fermées de $X$.
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Définitions alternatives
> On a équivalence entre les proposition suivantes :
> - $A$ est connexe
> - $A$ ne **s'écrit pas** comme la réunion disjointe de deux ouverts non vides
> - $A$ ne **s'écrit pas** comme la réunion disjointe de deux fermés non vides
> - les seules parties à la fois fermées et ouvertes de $A$ sont $\emptyset$ et $A$
> - toute [[application continue]] $f : A \to \{ 0, 1 \}$ est constante

> [!proposition]+ les fonctions continues préservent la connexité
> L'image d'un connexe par une [[application continue|fonction continue]] est un connexe.

> [!proposition]+ Théorème de passage à la douane
> Dans un espace topologique $X$
> Soit $A \subset X$
> Toute partie $C$ connexe qui rencontre à la fois $A$ et son complémentaire rencontre nécessiarement la [[frontière d'une partie d'un espace métrique|frontière]] de $A$
> Autrement dit :
> $\forall C \subset X,\quad ((C\cap A \neq \emptyset) \wedge C \cap (A^{\complement} \neq 0)) \implies C \cap \partial A$
# Exemples

> [!example] $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas connexe
> - $\mathbb{R}^{+*}$ est une partie ouverte et fermée de $\mathbb{R}^{*}$
> - $\mathbb{R}^{-*}$ est une partie ouverte et fermée de $\mathbb{R}^{*}$
> Donc, $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas connexe