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aliases:
  - inverses
  - propriétés des inverses dans les groupes
  - propriétés des inverses
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up:: [[cours L3.algèbre]]

> [!definition] Proposition
> Soit $(G, *)$ un groupe
> Soient $a, b, c \in G$
> On a $\begin{align} a*b = a*c &\iff b=c \\&\iff b*a=c*a \end{align}$
> De plus, l'équestion $a*x = b$ d'inconnue $x \in G$ a pour unique solution $x = a^{-1} * b$
> > [!démonstration] Démonstration
> > Montrons $a*b = a*c \iff b=c$
> > 1. implication $\implies$
> > $\begin{align} a*b=a*c &\implies a^{-1}*(a*b) = a^{-1}*(a*c)\\ &\implies (a^{-1}*a)*b = (a^{-1}*a)*c & \text{associativité}\\&\implies b=c\end{align}$
> > 2. implication $\impliedby$   
> > $b=c \implies a*b = a*c \implies$ évident en multipliant à gauche par $a$

> [!definition] proposition
> Soit $(G, *)$ un groupe
> Soient $a, b \in G$ qui commutent ($a*b = b*a$)
> Alors $a ^{-1}$ commute avec $b$ et $b^{-1}$
> > [!démonstration] Démonstration
> > $$
> > \begin{align}
> > a*b = b*a &\implies a^{-1}*(a*b) = a^{-1}*(b*a)  \\
> > &\implies \underbrace{(a^{-1}*a)}_{e_{G}}*b = (a^{-1}*b)*a & \text{par associativité} \\
> > &\implies b = a^{-1} * b * a \\
> > &\implies b*a^{-1} = a^{-1} * b * \underbrace{a * a^{-1}}_{e_{G}} \\
> > &\implies b*a^{-1} = a^{-1}*b
> > \end{align}
> > $$
> > Ainsi, $b$ commute avec $a^{-1}$ dès que $a$ commute avec $b$
> > On utilise la même méthode pour montrer que $a ^{-1}$ commute avec $b^{-1}$ dès que $b$ commute avec $a^{-1}$.
> > On peut donc bien conclure que $a^{-1}$ commute avec $b^{-1}$ dès que $a$ commute avec $b^{-1}$