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aliases:
  - voisinages
up:
  - "[[espace topologique]]"
tags:
  - s/maths/topologie
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> [!definition] [[voisinage]]
> Soit $(E, \mathscr{T})$ un [[espace topologique]]
> Soit $x \in E$ et $V \subset E$
> On dit que $V$ est un **voisinage** de $x$ si et seulement si il existe un ouvert $O \in \mathscr{T}$ tel que $x \in O$ et $O \subset V$.
> On note $\mathcal{V}(x)$ l'ensemble des voisinages de $x$.
^definition

> [!definition] autre définition
> Soit $X$ un espace topologique et $x \in X$
> Un **voisinage de $x$ dans $X$** est un sous ensemble $V$ de $X$ contenant un ouvert contenant x :
> $\exists U \text{ ouvert de } X,\quad x \in U \subseteq V$

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Dans $(E, \mathscr{T})$, soit $x \in E$ et soit $V \subset E$
> Si $V \in \mathcal{V}(x)$ alors $x \in V$
> ---
> Tout voisinage de $x$ contient $x$

> [!proposition]+ Stabilité par sur-ensemble
> Dans $(E, \mathscr{T})$, soit $x \in E$ et soit $V \subset E$
> Toute partie de $E$ qui contient un voisinage de $x$ est un voisinage de $x$
> 
> ---
> $\forall U, V \in \mathscr{P}(E),\quad (U \in \mathcal{V}(x) \wedge U \subset V) \implies V \in \mathcal{V}(x)$

> [!proposition]+ Stabilité par intersection finie
> Toute intersection **finie** de voisinages de $x$ est un voisinage de $x$
> 
> ---
> $\forall U, V \in \mathcal{V},\quad U \cap V \in \mathcal{V}(x)$

> [!proposition]+ Voisinages dans $\mathbb{R}$
> Dans $\mathbb{R}$ muni des ouverts de $\mathbb{R}$
> Les parties $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ ne sont voisinage d'aucun de leurs points.

# Exemples