--- sr-due: 2022-10-28 sr-interval: 83 sr-ease: 212 aliases: - continue --- up::[[fonction]] #maths/analyse > [!definition] [[fonction continue]] > Soient $(X, d_{x})$ et $(Y, d_{y})$ deux [[espace métrique|espaces métriques]] > Soit $f: X \to Y$ une [[application]] > Soit $a \in X$ > On dit que $f$ est **continue en $a$** si : > $\exists \varepsilon>0,\quad \exists \eta>0,\quad \forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{y}(f(x), f(a)) < \varepsilon$ ^definition > [!definition] Fonction continue dans $\mathbb{R}$ > Soit $I \subset \mathbb{R}$ > Soit $f: I \to R$ > Soit $a \in I$ > - $f$ est **continue en $a$** ssi : > - $\forall \varepsilon>0, \exists\eta > 0, \forall x\in I, (|x-a| < \eta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon)$ > - $f$ est **continue sur $I$** ssi : > - $\forall x \in I, \forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall y \in I, |x-y| \leq \eta \implies |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon$ > > - I $f$ est continue en $a$ si la [[limite]] de $f$ en $a$ est égale à $f(a)$ ^e9fb87 # Propriétés > [!proposition]+ > Soient $(X, d_{x})$ et $(Y, d_{y})$ deux [[espace métrique|espaces métriques]] > Soit $f: X \to Y$ une [[application]] > Soit $a \in X$ > On a équivalence entre : > - $f$ continue en $a$ > - $\forall (x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}}$ suite convergente vers $a$, $\lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{n}) = f(a)$ > > [!démonstration]- Démonstration > > - supposons $f$ continue en $a$ > > Soit $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $X$ qui converge vers $a$ > > On veut montrer que $\lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{n}) = f(a)$, donc que : > > $\forall \varepsilon>0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon$ > > On sait que $f$ est continue en $a$, donc qu'il existe $\eta >0$ tel que : > > $\forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{y}(f(x), f(a)) < \varepsilon \quad (1)$ > > mais on sait aussi que $x_{n}\to a$ > > En appliquant la propriété (1) à $x = x_{n}$, on sait qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N,\quad d_{x}(x_{n}, a) < \eta$ > > Donc $\forall n \geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon$ > > $\varepsilon$ étant quelconque, on a montré que $\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad d(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon$ > > c'est-à-dire $f(x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty} f(a)$ > > > > - Pour montrer la réciproque, on va travailler par contraposée. On cherche alors à montrer : > > $f$ n'est pas continue en $a$ $\implies$ il existe une suite $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge vers $a$ mais telle que $f(x_{n}) \centernot{\xrightarrow{n \to \infty}} f(a)$ > > $f$ n'est pas continue en $a \iff \exists \varepsilon>0,\quad \forall \eta>0,\quad \exists x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \wedge d_{y}(f(x), f(a)) \geq \varepsilon$ > > Pour un tel $\varepsilon>0$, prenons : > > - $\eta = \frac{1}{n+1} \mid_{n \in \mathbb{N}}$ > > - $x_{n} \in X$ tel que $\begin{cases} d_{x}(x_{n}, a) < \frac{1}{n+1} \\ d_{y}(f(x_{n}), f(a))\geq \varepsilon \end{cases}$ > > On a $d_{x}(x_{n}, a) \xrightarrow{n \to \infty} 0$, donc $x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} a$ > > Mais $f(x_{n}) \centernot{\xrightarrow{n \to \infty}} f(a)$, car sinon il existerait $N\in\mathbb{N}$ tel que $\forall n\geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a))\leq \varepsilon$, ce qui est impossible. > > > > > [!proposition]+ > On a équivalence entre : > 1. $f$ est continue > 2. $\forall V$ [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $Y,\quad f^{-1}(V)$ est ouvert dans $X$ > 3. $\forall F$ [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] de $Y,\quad f^{-1}(F)$ est fermé de $X$ > > [!démonstration]- Démonstration > > - 2. $\implies$ 3. > > Si $F$ est un fermé de $Y$, alors : > > $Y \setminus F$ est un ouvert de $Y$ > > donc $f^{-1}(Y \setminus F)$ est un ouvert de $X$ > > or, $f^{-1}(F) = X \setminus \underbrace{f^{-1}(Y\setminus F)}_{\text{ouvert}}$ > > donc $f^{-1}(F)$ est un fermé de $X$ > > - 3. $\implies$ 2. > > On procède de la même manière que pour le point précédent > > - 1. $\implies$ 2. > > Soit $V$ ouvert de $Y$ > > - Si $V = \emptyset$, alors $f^{-1}(V) = \emptyset$ est un ouvert de $X$ > > - Si $V \neq \emptyset$, alors soit $a \in f^{-1}(V)$ quelconque, comme $V$ est ouvert, $\exists \varepsilon>0,\quad B_{y}(f(a), \varepsilon) \subset V$ > > Mais comme $f$ est continue en $a$, il existe $\eta>0$ tel que $\forall x \in X,\quad d(x, a) < \eta \implies d(f(x), f(a)) < \varepsilon$, c'est-à-dire : > > $\exists \eta>0,\quad \forall x \in X,\quad x \in B_{X}(a, \eta) \implies f(x) \in B(Y)(f(a), \varepsilon)$ > > autrement dit $\forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in B_{Y}(f(a), \varepsilon)$ > > donc $\forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in V$ > > et donc $B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(V)$ > > On a montré que : > > $\forall a \in f^{-1}(V),\quad \exists \eta >0,\quad B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(V)$ > > c'est-à-dire que $f^{-1}(V)$ est ouvert. > > - 2. $\implies$ 1. > > Soient $a \in X$ et $\varepsilon>0$ quelconques > > $B_{Y}(f(a), \varepsilon)$ est un ouvert de $Y$ > > $f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon))$ est un ouvert de $X$ > > En particulier, $\exists \eta>0,\quad B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon))$ > > cela signifie que $\forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in B_{Y}(f(a), \varepsilon)$ > > soit que $\forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{Y}(f(x), f(a)) < \varepsilon$ > > Comme $\varepsilon$ et $a$ sont quelconques, on a montré que $f$ est continue. > > > [!corollaire] Corollaire > > Si $f: X \to Y$ et $g: Y \to Z$ sont deux applications continues, alors $g \circ f$ est continue. > > - I si $f$ est continue en $a \in X$ et $g$ est continue en $f(a)$, alors $(g \circ f)$ est continue en $a$ > > > > > [!démonstration]- Démonstration > > > En effet, pour n'importe quel ouvert $V$ de $Z$ > > > $g^{-1}(V)$ est un ouvert de $Y$ car $g$ est continue > > > $(g \circ f)^{-1}(V) = f^{-1}(g^{-1}(V))$ est un ouvert de $X$ car $f$ est continue > > > Donc, pour n'importe quel ouvert $V$ de $Z$ : > > > $(g \circ f)^{-1}(V)$ est ouvert, c'est-à-dire que $g \circ f$ est continue > ## Sur les applications linéaires > [!proposition]+ continuité des applications linéaires > Soient $(E, \|\cdot\|_{E})$ et $(F, \|\cdot\|_{F})$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] normés > Soit $f : E \to F$ une [[application linéaire]], alors on une équivalence entre : > 1. $f$ est continue > 2. $f$ est continue en $0_{E}$ > 3. Il existe $C \geq 0$ tel que $\forall x \in E,\quad \|f(x)\|_{F} \leq C\|x\|_{E}$ > > [!démonstration]- Démonstration > > - 1. $\implies$ 2. > > évident : si $f$ continue en chaque point alors elle est continue, en particulier, en $0_{E}$ > > - 2. $\implies$ 3. > > Prenons $\varepsilon = 1$ dans la définition de la continuité de $f$ en $0_{E}$ : > > $\exists \eta >0,\quad \forall x \in E,\quad d_{E}(x, 0_{E}) < \eta \implies d_{F}(f(x), f(0_{E})) <1$ > > c'est-à-dire $\forall x \in E,\quad \|x-0_{E}\|_{E} < \eta \implies \|f(x) - f(0_{E})\|_{F} < 1$ > > donc, finalement : $\forall x \in E,\quad \|x\|_{E}<\eta \implies \|f(x)\|_{F} < 1$ > > Soit $x \in E \setminus \{ 0 \}$ un vecteur quelconque > > considérons $\tilde{x} = \frac{\eta x}{2 \|x\|_{E}}$ > > On a $\|f(\tilde{x})\|_{F} \leq 1$ > > autrement dit, comme $x = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot\tilde{x}$ > > $f(x) = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot f(\tilde{x})$ > > et donc $\|f(x)\|_{F} = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot \underbrace{\|f(\tilde{x})\|_{F}}_{\leq 1}$ > > $\|f(x)\|_{F} \leq \frac{2}{\eta}\|x\|_{E}$ > > cette inégalité reste vraie si $x = 0_{E}$ > > D'où là propriété 3. avec $C = \frac{2}{\eta}$ > > - 3. $\implies$ 1. > > Soient $a \in E$ et $\varepsilon>0$ > > on a $\forall x \in E,\quad \|f(x) - f(a)\|_{F} \leq C \|x - a\|$ > > Donc, si $\eta = \frac{\varepsilon}{C}$ et si $d(x, a) = \|x-a\|_{E} < \eta$ > > $\begin{align} d(f(x), f(a)) &= \|f(x) - f(a)\|_{F} \\&\leq C \|x-a\|_{E} \\&< C\eta = C \frac{\varepsilon}{\eta} \\&< \varepsilon \end{align}$ > > Ce qui montre que $f$ est continue en $a$ pour tout $a \in E$ > # Exemples