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alias: "algèbre de Boole"
author: "[[George Boole]]"
tags: "#s/maths/logique"
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> [!definition] Définition
> _Algèbre de Boole_, ou _Calcul Booléen_.
> Approche algébrique de la **logique**.
> S'intéresse au calcul sur des variables logiques (vrai ou faux).
> Il travaille donc sur l'[[ensemble des booléens]] ou sur tout ensemble à deux valeurs, qu'il munit d'opérations logiques.
^definition

# Opérateurs

> [!info] Opérateurs fondamentaux
> - ou $\vee$ avec $A \vee B = \begin{cases} 1 \text{ si } A = 1 \text{ ou }  B = 1\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$
> - et $\wedge$ avec $A \wedge B = \begin{cases} 1 \text{ si } A = 1 \text{ et } B = 1\\0 \text{ sinon} \end{cases}$
> - non $\neg$

> [!info] autres opérateurs
> non nécessaires car déductibles des précédents
>  - implication $\implies$ avec $A \implies B = \neg A \vee B$
>  - équivalence $\iff$ avec $A \iff B = (A \implies B) \wedge (B \implies A)$
>  - ou exclusif $|$ ou $\oplus$ avec $A \oplus B = \begin{cases} 1 \text{ si } A \neq B\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$

# Propriétés


> [!proposition]+ Théorème
> Toute fonction logique $\{ 0, 1 \}^{n} \to \{ 0, 1 \}$ peut s'exprimer à l'aide de $\wedge$, $\vee$ et $\neg$ uniquement, et même, au choix, de $\wedge$ et $\neg$, ou bien de $\vee$ et $\neg$ (mais pas $\vee$ ou $\wedge$).
> On montre aussi que le ou exclusif suffit.
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 1. Soit $a = (a_1, \dots, a_{n}) \in \{ 0, 1 \}^{n}$ on va construire une fonction $\delta _{a}$ à l'aide de $\wedge$ et $\neg$ telle que $\delta _{a}(x) = \begin{cases} 1 \text{ si } x = a\\0 \text{ sinon} \end{cases}$
> >    on note $x_1^{a_1} = \begin{cases} x_1 \text{ si } a_{1} = 1\\ \neg x_1 \text{ si } a_1 = 0 \end{cases}$
> >    On a alors $\delta_{a}(x) = 1$ si et seulement si $\forall i,\quad x_{i}^{a_{i}} = 1$ c'est-à-dire ssi $\forall i,\quad x_{i} = a_{i}$
> > 2. soit $f : \{ 0, 1 \}^{n} \to \{ 0, 1 \}$
> >    $A = \{ (a_1, \dots, a_{n}) | f(a_1, \dots, a_{n}) = 1 \}$
> >    $f(x) = \underbrace{\bigvee_{a \in A} \delta _{a}(x)}_{\substack{\text{vaut 1 ssi}\\ \exists a \in A,\quad \delta _{a}(x) = 1\\ \text{c'est-à-dire }\\ \exists a \in A,\quad x = a}}$
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