up:: [[points critiques d'une fonction]], [[fonction de plusieurs variables]]
#maths/analyse 

> [!definition] matrice hessienne
> Soit une fonction $\begin{align} f :\;& \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\\&(x_1, x_2, \dots ,x_{n}) \mapsto f(x_1,\dots,x_{n}) \end{align}$
> 
> Dont toutes les [[dérivée partielle|dérivées partielles]] secondes existent.
> La matrice hessienne de $f$, $H(f)$ est définie comme :
> 
> $\displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} \partial x_{j} }$
> 
> Donc :
> 
> $$ H(f) =
> \begin{pmatrix}
> \dfrac{ \partial f }{ \partial {x_1}^{2} }  & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_{n} }  \\
> \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_1 }  & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_{n} }  \\
> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
> \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_1 }  & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_{n} }  \\
> \end{pmatrix}
> $$
> 
> Le [[déterminant hessien]] permet de déduire des propriétés sur la fonction (points critiques)
^definition

> [!definition] Définition par rapport au [[gradient d'une fonction|gradient]]
> Soit $\nabla f$ le [[gradient d'une fonction|gradient]] de $f$, on a :
> $H_i(f) = \dfrac{ \partial \nabla f }{ \partial x_{i} }$
> Soit :
> $\displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \left( \nabla f \right)_{j}$

# Propriétés
- [[déterminant hessien]]