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  - "[[différentielle]]"
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  - s/maths/analyse
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> [!proposition]+ 
> Soit $f : \Omega \subset E \to F$ de [[classe d'une fonction|classe]] $\mathcal{C}^{1}$ 
> Soient $x, y \in \Omega$ tels que $[x, y] \subset \Omega$
> Alors on a l'**inégalité des accroissements finis** :
> $\|f(x) - f(y)\|_{F} \leq \sup\limits_{t \in [0, 1]} \|\mathrm{d}f(tx + (1-t)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x-y\|_{E}$
> 

> [!démonstration] Démonstration
> On définit $\varphi(t) = f(tx + (1-t)y)$, qui est de classe $\mathcal{C}^{1}$ car composée de fonctions $\mathcal{C}^{1}$
> On sait que $\varphi'(t) = \mathrm{d}f(tx + (1-t)y)(x-y)$ (par [[différentielle#^differentielle-d-une-composee|différentielle d'une composée]])
> En partant de $\displaystyle \varphi(1) - \varphi(0) = \int_{0}^{1} \varphi'(t) \, dt$ (ce qui est vrai car $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$)
> On obtient :
> $\|f(x)-f(y)\|_{F} = \|\varphi(1)-\varphi(0)\|_{F} \leq \int_{0}^{1} \|\varphi'(t)\|_{F} \, dt \leq \int_{0}^{1} \|\mathrm{d}f(tx+ (1-t)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x-y\| \, dt$
> car:
> $\begin{align} \forall t \in [0, 1],\quad \|\varphi'(t)\|_{F} &= \|\underbrace{\mathrm{d}f(tx+(1-t)y)}_{\in \mathscr{L}(E, F)} \underbrace{(x-y)}_{\in E}\|_{F} \\&\leq \|\mathrm{d}f(tx+(1-t)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x - y\|_{E} \\&\leq \sup\limits_{s \in [0, 1]} \|\mathrm{d}f(sx + (1-s)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x-y\|_{E} \end{align}$
> et donc :
> $\displaystyle \int_{0}^{1} \|\varphi'(t)\|_{F} \, dt \leq (1 - 0) \sup\limits_{s \in [0, 1]} \|\mathrm{d}f(sx + (1-s)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)} \|x - y\|_{E}$
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