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  - "[[suite finies d'entiers]]"
  - "[[fonction récursive primitive]]"
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  - s/maths/logique
  - s/informatique
aliases:
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 - i On peut noter $\mathscr{S}$ l'ensemble des suites finies d'entiers (notation de [@coriLogiqueMathematique22003])

> [!proposition]+ Représentation avec des couples
> Le but est de trouver une fonction qui fasse l'association entre un nombre et un $p$-uplet (une suite de $p$ entiers).
> On veut montrer qu'il existe $\alpha _{p} \in \mathscr{F}_{p}$ et $\beta _{p}^{1}, \beta _{p}^{2}, \dots, \beta _{p}^{p} \in \mathscr{F}_{p}$ telles que $\alpha _{p}$ est une [[bijection]] et que l'application réciproque de $\alpha _{p}$ soit $\lambda x. (\beta _{p}^{1}, \beta _{p}^{2}, \dots, \beta _{p}^{p})$
>  - **Couples :**
>    On commence par construire $\alpha _{2}$ pour les couples, dont la réciproque doit être $\lambda x. (\beta _{2}^{1}, \beta _{2}^{2})$ :
>    Pour cela, on décide d'ordonner les couples d'entiers comme suit :
>    ![[attachments/ordre sur les couples d'entiers 2026-03-21 18.43.49.excalidraw]]
>    C'est-à-dire en suivant les diagonales à $x+y$ constant, en commençant par $x+y=0$, puis $x+y=1$ ...
>    la valeur de $\alpha_2(x, y)$ sera alors le nombre de couples précédant $(x, y)$ dans cette énumération
>    tes
>    Considérons le couple $(p, n)$ :
>    Il se trouve dans la diagonale $p+n$. Les couples avant cette diagonale sont au nombre de $\frac{(p+n)(p+n+1)}{2}$, et le couple $(p, n)$ est le $n^{\text{ème}}$ de sa diagonale.
>    Cela montre que $\alpha _{2}(p, n) = \frac{1}{2}(p+n)(p+n+1)+n$.
>    On peut ensuite retrouver $\beta _{2}^{1}$ et $\beta _{2}^{2}$ comme suit (à l'aide de [[schéma mu borné|schémas µ bornés]] et de la [[fonction récursive primitive#^cloture-par-quantification-bornee|clôture par quantification bornée]]) :
>      - $\beta _{2}^{1}(x) = \mu z \leq x \quad (\exists w\leq x,\quad \alpha_2(z, w) = x)$
>      - $\beta _{2}^{2}(x) = \mu z \leq x \quad (\exists w\leq x,\quad \alpha_2(w, z) = x)$
>    Ces expressions cherchent à trouver le plus petit $z$ que l'on puisse compléter pour former un couple dont l'image par $\alpha_2$ sera bien $x$
>  - **Suites :**
>    Les suites finies seront définissables par des couples contenant des couples :
>    - **Triplets $\alpha_3$**
>      $\alpha_3(x, y, z) := \alpha _{2}(x, \alpha_2(y, z))$ on représente $(x, y, z)$ comme un couple $(x, t)$ où $t$ est l'entier correspondant à $(y, z)$
>      avec $\beta _{3}^{1} = \beta_2^{1} \qquad \beta_3^{2}=\beta_2^{1} \circ \beta_2^{2} \qquad \beta_3^{3}=\beta_2^{2} \circ \beta_2^{2}$ 
>    - **4-uplet $\alpha_4$**
>      $\alpha_4(x, y, z, w) := \alpha_3(x, y, \alpha_2(z, w)) = \alpha_2(x, \alpha_2(y, \alpha_2(z, w)))$
>      avec $\beta_4^{1} = \beta_2^{1} \qquad \beta_4^{2} = \beta_3^{2}=\beta_2^{1} \circ \beta_2^{2} \qquad \beta_4^{3}=\beta_2^{1} \circ \beta_3^{3}=\beta_2^{1}\circ\beta_2^{2}\circ\beta_2^{2} \qquad \beta_4^{4}=\beta_2^{2}\circ\beta_3^{3}=\beta_2^{2} \circ\beta_2^{2}\circ\beta_2^{2}$
>    - **en général $\alpha _{p}$**
>      $\alpha _{p+1}(x_1, x_2, \dots, x_{p}, x_{p+1}) := \alpha _{p}(x_1, x_2, \dots, \alpha_2(x_{p}, x_{p+1}))$
>      avec $\beta _{p+1}^{1} = \beta_p^{1} \qquad \beta _{p+1}^{2}=\beta_p^{1}  \qquad \cdots \qquad \beta _{p+1}^{p}=\beta_2^{1} \circ\beta _{p}^{p} \qquad \beta _{p+1}^{p+1}=\beta_2^{2}\circ\beta _{p}^{p}$


> [!proposition]+ Seconde approche
> On procède en définissant l'application de $\mathscr{S} \to \mathbb{N}$ suivante :
> $\Omega((x_0, x_1, \dots, x_{p})) = \pi(0)^{x_0} \cdot \pi(1)^{x_1} \cdot\cdots \cdot \pi(p)^{x_{p}}$ (voir [[fonction pi|fonction π]])
> On profite ici de la [[décomposition en facteurs premiers]].
> Par ailleurs, comme [[fonction pi#^recursive-primitive|la fonction π est récursive primitive]], on sait que $\Omega$ est récursive primitive aussi
> Montrons maintenant que la réciproque de $\Omega$ est également récursive primitive :
> définissons la fonction $\delta \in \mathscr{F}_{2}$ :
> $\delta(i, x) := \mu z \leq x \quad (x \text{ n'est pas divisible par } \pi(i)^{z+1})$
> On sait que [[divisibilité#^recursive-primitive|le prédicat de divisibilité est récursif primitif]], ce qui montre que $\delta$ est récursive primitive.
> La fonction $\lambda x. (\delta(1, x), \delta(2, x), \dots, \delta(p, x))$ est bien la réciproque de $\Omega$
>  - i Cette approche est moins parfaite car $\Omega$ n'est pas bijective