--- up: - "[[suites particulières]]" - "[[S2 LOGOS . mathématiques pour non spécialistes . rendu]]" tags: - s/maths aliases: - suite look-and-say - audioactive decay - look-and-say sequence author: - "[[John Horton Conway|John Conway]]" header-auto-numbering: - state off --- > [!definition] [[désintégration audioactive]] > La règle de définition est : > $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$ ^definition # Notations - On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres - On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le parsing - $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ est dérivée en $L'$ par désintégration audioactive - On note aussi $L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots$ pour $L \longrightarrow L'$ et $L' \longrightarrow L''$ et $L'' \longrightarrow \cdots$ - $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$) - évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \to L_{n+1}$ - i on peut noter $L \overset{n}{\to} L_{n}$ - On utilise $[$ et $]$ pour dénoter la "véritable fin" des morceaux de termes (des sous-suites consécutives d'un terme) - = $[11222$ correspond à $11 222\cdots$ - On utilise les puissances pour la répétition - = $3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111$ - i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, $11111$ ne sera jamais noté comme $1^{2}1^{3}$) - $X$ désigne un chiffre arbitraire (non nul) - = $X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ correspond à $[a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0}$ correspond à $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]$ - $\neq n$ désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que $n$ - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0}$ signifie $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ suivi d'au moins un autre chiffre - = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0}$ signifie que ce dernier chiffre n'est pas un $2$ - = $n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\longrightarrow} n^{\neq n}] \to n'$ # Propriétés > [!proposition]+ conséquence du regroupement > Pour une étape : > $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$ > Il est évident que : > $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$ > - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles ^regroupement ## Atomes > [!definition] Découpage > Parfois, une chaîne $LR$ est telle que les descendants de $L$ et de $R$ n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que : > $\forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}$ > On dit alors que $LR$ se **découpe** en $L . R$ > - i on note alors $L \cdot R$ > - i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de $L_{n}$ est toujours différent du premier chiffre de $R_{n}$ (ou bien quand l'une des deux est vide) > --- > - def On appelle **trivial** un découpage du type $[\;]\cdot L$ ou $L\cdot [\;]$ ^def-decoupage > [!definition] Atome > Les **atomes** (ou *éléments*) sont les chaînes qui ne possèdent pas de découpage non trivial. > - source:: [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=181&selection=221,11,241,7&color=note|(John Horton Conway, 1987)]] ^def-atome - i toute chaîne est **composée** d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne **comprends** lesdits éléments. - source:: [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=181&selection=243,5,260,9&color=note|(John Horton Conway, 1987)]] ## Théorèmes > [!proposition]+ Théorème du jour 1 – [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=185&rect=12,336,372,470|p.185]] > Les morceaux de type : > 1. $,ax,bx,$ > 2. $x^{\geq 4}$ > 3. $x^{3}y^{3}$ > > n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus. > > [!démonstration]- Démonstration > > 1. $,ax,bx,$ > > - ! ce premier morceau à un parsing donné > > La première possibilité doit venir de $x^{a}x^{b}$ qui aurait du être écrit $x^{a+b}$ dans la chaîne du jour précédent. > > 2. $x^{\geq 4}$ soit $x^{n}$ pour $n \geq 4$ > > On peut parser cette expression de plusieurs manières. > > - si $n$ est pair : > > $,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}},$ et au minimum $,xx,xx,$ pour $n = 4$. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces $x$ : $x^{2\times x}$ n'est pas dérivé en $xx,xx$ mais en $(2\times x)x$ > > L'autre parsing possible est $x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x$ ce qui donne, à nouveau, le même résultat : $,x,x^{k},x,$ n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en $(k+2)x$ > > - si $n$ est impair : ($n\geq 5$) > > A nouveau, ni $,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x,$ ni $[x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}},$ ne sont des dérivations correctes > > 2. $x^{3}y^{3}$ > > Encore une fois, considérons les parsing possibles : > > - $,xx,xy,yy,$ ne peut pas exister, puisque $,xy,yy,$ aurait du être dérivé en un $,ky,$ > > - $[x,xx,yy,y]$ ne peut pas exister puisque $\alpha x,x x$ aurait du être dérivé en $(\alpha+x) x$ > > Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation. ^thm-jour-1 > [!proposition]+ Théorème du jour 2 – [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=185&rect=12,225,373,331|p.185]] > - Aucun chiffre $\geq 4$ ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite (sauf conservation d'un chiffre qui était déjà présent). > - Un morceau $3 X 3$ (en particulier $3^{3}$) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours. > > > [!démonstration]- Démonstration > > - Un chiffre $\geq 4$ devrait venir d'un $x^{\geq 4}$, on on sait par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]] qu'un tel $x^{\geq 4}$ ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre $\geq 4$ ne peut pas apparaître après le jour 2 > > - i un chiffre $k>1$ quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient $,x^{k},$ puisque $,x^{k}, \to ,kx,$ > > - Un morceau $3X 3$ ne peut pas être parsé comme $3,x 3, y$ puisque l'on aurait alors $,\alpha 3, x 3, y$ mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner $,\alpha 3,x 3,$) > > On doit donc nécessairement parser $3X 3$ comme $,3x,3y,$. Pour obtenir $,3x,3y,$, on doit avoir obtenu $x^{3}y^{3}$ au jour précédent, ce qui est impossible dès le jour 1 (par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]]). Cela montre bien que $3X 3$ est impossible dès le jour 2. ^thm-jour-2 > [!proposition]+ Théorème du début – [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=185&rect=11,33,374,186|p.185]] > Soit $R$ un morceau d'une chaîne âgée de 2 jours ou plus. > Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants : > - $\overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots$ > - $\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow$ > - $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$ > - $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$ > > > [!démonstration] Démonstration > > Explorons les valeurs possibles de $R$ en supposant que $R$ est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par $2^{2}$. > > Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|du jour 1]] et [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|du jour 2]]) : > > - Si $R$ commence par $1$ > > - Si $R$ commence par $1^{1}$ > > - c $[1^{1}]$ impossible car ne peut pas être dérivé > > - p $[1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1} \leftarrow [(\neq X)^{X}$ car $X^{X} \longrightarrow XX \longrightarrow 2X$ > > - down $[1^{1}X^{2}$ se divise en plusieurs cas, le seul possible étant $[1^{1}2^{2}$ > > - right $[1^{1}1^{2} = [1^{3}$ que l'on traitera plus tard > > - p $[1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{2}(\neq X)^{X}$ > > - c $[1^{1}3^{2} \longleftarrow [3^{1}X^{3} = [3X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]]) > > - c $[1^{1}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [(\geq 4)^{1}X^{\geq 4}$ impossible au [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]] > > - c $[1^{1}X^{3} = [1X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]]) > > - c $[1^{1}X^{n\geq 4}$ impossible puisque $X^{n\geq 4}$ est impossible dès le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]] > > - Si $R$ commence par $1^{2}$ on $R= [1^{2}2^{\leq 3}$ > > - right $[1^{2}1^{1} = [1^{3}$ > > - c $[1^{2}1^{\geq2} = [1^{\geq 4}$ impossible > > - p $[1^{2}2^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{1}n^{X}$ > > - p $[1^{2}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}$ > > - p $[1^{2}2^{3} \longleftarrow [1^{1}2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}n^{X}$ > > - c $[1^{2}2^{\geq 4}$ impossible > > - c $[1^{2}3^{n \geq 1} \longleftarrow [1^{1}n^{3}$ impossible car $,1X,XX,$ est impossible > > - c $[1^{2}(X\geq 4)$ impossible par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]] > > - Si $R$ commence par $1^{3}$ on a $R = [1^{3}X^{1} \text{ ou } [1^{3}2^{2}$ > > - p $[1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}$ > > - p $[1^{3}2^{2}$ > > - $[1^{3}1^{2}$ est évidemment exclus > > - p $[1^{3}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{X}$ > > - c $[1^{3}2^{3} = [11,12,22$ impossible > > - c $[1^{3}2^{\geq 4}$ impossible > > - c $[1^{3}X^{3}=[11,1X,XX$ impossible > > - Si $R$ commence par $2$ alors $R= [2^{1}X^{\leq 2}$ > > - down $[2^{1}X$ considérons les différentes possibilités : > > - p $[2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}$ > > - p $[2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}$ > > - c $[2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots$ impossible > > - c $[2^{2}$ impossible par supposition car commencerait par $[22$ > > - p $[2^{3} \longleftarrow [2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{2}X^{X}$ > > - c $[2^{\geq 4}$ évidemment > > - Si $R$ commence par $3$ alors $R =[3^{\leq 2}(\leq 2)^{2} \text{ ou } [3^{2}(\leq 2)^{1} \text{ ou } [3^{3}(\leq 2)^{3}$ > > - p $[3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}$ > > - p $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ puisque : > > - p $[3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}$ > > - p $[3^{1}2^{2}X \longleftarrow [2^{3}X^{2}$ possible si $X \neq 2$ > > - c $[3^{1}(\geq 3)^{2}$ puisque: > > - c $[3^{1}3^{2}=[3^{3}$ impossible > > - c $[3^{1}(\geq 4)^{2} =[34,4\cdots$ impossible car $4$ ne peut pas apparaître > > - c $[3^{1}X^{3} = [3X,XX$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]]) > > - p $[3^{2}(\leq 2)^1 \longleftarrow [3^{3}X^{\leq 2} \longleftarrow [3^{3}X^{3}$ > > - c $[3^{2}(\geq 3)^{1} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 3} = [33,3X,XX,\dots$ impossible > > - p $[3^{2}(\leq 2)^{2}$ puisque : > > - p $[3^{2}1^{2} \longleftarrow [3^{3}1^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}$ > > - p $[3^{2}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{3}X^{2}$ > > - c $[3^{2} (\geq 3)^{2}$ puisque : > > - c $[3^{2}3^{2} = [3^{4}$ impossible > > - c $[3^{2}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 4}$ impossible > > - p $[3^{2}(\leq 2)^{3}$ puisque : > > - p $[3^{2}1^{3} \longleftarrow [3^{3}1^{1}X^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}$ > > - p $[3^{2}2^{3} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2}n^{X}$ > > - c $[3^{2}(\geq 3)^{3}$ puisque : > > - c $[3^{2}3^{3} = [3^{5}$ > > - c $[3^{2}(\geq 4)^{3} \longleftarrow [3^{3}(\geq 4)^{(\geq 4)}X^{(\geq 4)}$ impossible > > - c $[3^{3}$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]]) > > - down Si $R$ commence par un $n > 3$ > > - c $[(\geq 4)^{1} \leftarrow [X^{\geq 4}$ impossible > > - c $[(\geq 4)^{2} \leftarrow [n^{n}$ pour $n \geq 4$ : impossible > > - c de même pour tous les $[(\geq 4)^{\geq 3} \longleftarrow [n^{n}$ avec $n \geq 4$ > > > > L'ensemble des possibilités se résume donc à : > > - $[1^{1}] = [1^{1}X^{0}$ > > - $[1^{1}X^{1}$ > > - $[1^{1}2^{2}$ > > - $[1^{2}2^{\leq 3}$ > > - $[1^{3}X^{1}$ ou, plus généralement $[1^{3}$ > > - $[1^{3}2^{2}$ ou, plus généralement $[1^{3}$ > > - $[2^{1}X^{\leq 2}$ > > - $[2^{3}$ > > - $[3^{1}X^{1}$ que l'on restreint à $[3^{1}(\neq 1)^{1}$ pour éviter la superposition avec un autre cas > > - $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ > > - $[3^{2}(\leq 2)^{\leq 3}$ qui est l'une de ces deux possibilités : > > - $[3^{2}1^{\leq 3}$ > > - $[3^{2}2^{\leq 3}$ > > - $[n^{1}$ > > > > De là, on observe que toutes les possibilités convergent vers l'un des cycles donnés : > > ![[demo_théorème_du_début.excalidraw]] > > > > Par ailleurs, si $R$ commence par $[22$ : > > - si $R = [22]$ la preuve est trivialle > > - sinon on considère un $R'$ tel que $R = [22 \cdot R'$, et on utilise l'argument précédent pour montrer que $R'$ arrive sur le cycle $[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}$ > > --- > > > > On peut modifier cette liste : > > - en assimilant $[3^{1}X^{1}$ et $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ aux deux cas $[3^{1}X^{3}$, $[3^{1}X^{\leq 2}$ > > - en assimilant $[3^{2}(\leq 2)^{\leq 3}$ aux cas $[3^{2}X^{3}$, $[3^{2}X^{\leq 2}$ > > - en assimilant $[1^{3}2^{2}$ et $[1^{3}X^{1}$ au seul cas $[1^{3}$ > > - en assimilant $[1^{2}2^{\leq 3}$ à $[1^{2}X^{1}$ (qui est déjà listé) et $[1^{2}X^{\neq 1}$ > > - en séparant $[2^{1} X^{\leq 2}$ en $[2^{1}X^{2}$ et $[2^{1}X^{\neq 2}$ > > - en ajoutant $[1^{1}3^{2}$ > > Cela nous donne la liste suivante : > > - $[1^{1}] = [1^{1}X^{0}$ > > - $[1^{1}X^{1}$ > > - $[1^{2}X^{1}$ > > - $[1^{1}2^{2}$ > > - $[1^{1}3^{2}$ > > - $[1^{2}X^{\neq 1}$ > > - $[1^{3}$ > > - $[2^{1}X^{2}$ > > - $[2^{1}X^{\neq 2}$ > > - $[2^{3}$ > > - $[3^{1}X^{3}$ > > - $[3^{1}X^{\leq 2}$ > > - $[3^{2}X^{3}$ > > - $[3^{2}X^{\leq 2}$ > > - $[n^{1}$ > > > > Cela nous permet d'atteindre le schéma original de Conway : > > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408|schéma original de Conway p.186]] ^theoreme-debut > [!proposition]+ théorème du découpage > Une chaîne de $\geq 2$ jour $LR$ se découpe en $L \cdot R$ seulement dans ces cas : > > | L | R | > | --------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- | > | $n]$ | $[m$ | > | $2]$ | $[1^1X^1$ ou $[1^{3}$ ou $[3^{1}X^{\neq 3}$ ou $[n^{1}$ | > | $\neq 2]$ | $[2^{2} 1^{1}X^{1}$ ou $[2^{2}1^{3}$ ou $[2^{2}3^{1}X\neq 3$ ou $[2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}$ | > avec $n \geq 4$ et $m \leq 3$ > ou bien quand l'un des deux est vide ($L = [\;\;]$ ou $R = [\;\;]$) > > [!démonstration]- Démonstration > > Cela suit directement du [[désintégration audioactive#^theoreme-debut|téorème du début]] appliqué à $R$, et du fait que le dernier chiffre de $L$ est constant ^theoreme-decoupage ## Tableau des éléments ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=183&rect=15,26,369,536&color=note|(John Horton Conway, 1987)]] ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=184&rect=15,30,372,536&color=note|(John Horton Conway, 1987)]] - = $\ce{He -> Hf.Pa.H.Ca.Li}$ # Exemples