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up:
  - "[[structure algébrique]]"
tags:
  - "#s/maths/algèbre"
aliases:
  - anneaux
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> [!definition] 
> Soit un ensemble $A$ et deux lois $+$ et $\times$
> $(A, +, \times)$ est un **anneau** ssi :
>  - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]
>      - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]]
>      - il existe un [[élément neutre]] $0_{A}$ pour $+$
>      - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $+$
>  - $(A, \times)$ est un [[monoïde]]
>      - $\times$ est [[associativité|associative]]
>      - il y a un [[élément neutre]] $1_{A}$ pour $\times$
>  - $\times$ est [[distributivité|distributive]] par rapport à $+$ (à droite et à gauche)
>      - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$
^definition

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
type: tree
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show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 2]
```
# Propriétés

> [!proposition]+ $0$ est un élément absorbant
> Soit $(A, +, \times)$ un anneau
> Soit $0_{A}$ l'élement neutre pour $+$
> $0_{A}$ est **absorbant**, c'est-à-dire que :
> $\forall a \in A,\quad a0_{A} = 0_{A}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $a0_{A} = a(0_{A} + 0_{A}) = a0_{A} + a 0_{A}$
> > d'où suite que $a 0_{A} = 0_{A}$

> [!proposition]+ Distributivité généralisée
> Soient $m, n \in \mathbb{N}^{*}$
> Soient $(a_1, \dots, a_{n}) \in A^{n}$ et $(b_1, \dots, b_{n}) \in A^{n}$
> On a : 
> $\left( \sum\limits_{i=1}^{m} a_{i}\right) \times \left( \sum\limits_{j=1}^{n}b_{j} \right) = \sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{i}b_{j})$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > La démonstration se fait par double récurrence sur $m$ et sur $n$

> [!proposition]+ [[binôme de Newton|Binôme de Newton]]
> Soient $a, b \in A$ et $n \in \mathbb{N}$ on a :
> $(a+b)^{n} = \sum\limits_{i= 0}^{n} \binom{n}{i}a^{i}b^{n-i}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $(a+b)^{n} = (a+b) \cdot (a+b)^{n-1}$

> [!proposition]+ 
> Si $a, b \in A$ et $a \times b = b \times a$ et $n \in \mathbb{N}^{*}$ alors :
> $a^{n} - b^{n} = (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Réécrivons le terme de droite de manière développée :
> > $\begin{align} (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k} &= (a-b)(a^{0}b^{n-1} + a^{1}b^{n-2} + \cdots + a^{n-2}b^{1}+a^{n-1}b^{0}) \\&= \bcancel{\color{deepskyblue}a^{1}b^{n-1}} + \bcancel{\color{chartreuse}a^{2}b^{n-2}}+\bcancel{\color{#ffaaff} a^{3}b^{n-3}} + \cdots + \bcancel{\color{orange} a^{n-1}b^{1}} +a^{n}b^{0} \\ &\quad \,- a^{0}b^{n} - \bcancel{\color{deepskyblue}a^{1}b^{n-1}} \bcancel{\color{chartreuse} - a^{2}b^{n-2}}- \cdots \bcancel{\color{#aaaaff}-a^{n-2}b^{2}} \bcancel{\color{orange}-a^{n-1}b^{1}} \\&= a^{n}b^{0} - a^{0}b^{n} \\&= \boxed{a^{n} - b^{n}} \end{align}$
> >    

# Exemples