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#maths/intégration 

On veut démontrer :
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# 1 - hypothèses vraies partout
On suppose que les hypothèses 1. et 2. sont vraies partout (et pas seulement $\mu$-presque partout).
On pose alors $g_{n} = 2g - |f_{n} - f|$ pour $n \in \mathbb{N}$
$(g_{n})$ est mesurable et positive car $|f_{n} - f| \leq |f_{n}| + |f| \leq g+g$
On peut donc appliquer le [[lemme de Fatou]] à la suite $(g_{n})$. On obtient alors :
$\displaystyle \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } (g_{n}) \, d\mu \leq \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu$
On étudie ensuite les deux membres de cette inégalité.
Pour le membre de gauche :
$$\begin{align} 
\int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } g_{n} \, d\mu &= \int_{E} \liminf\limits_{ n \to \infty } 2g - |f_{n}-f|  \, d\mu \\
&= \int_{E} 2g - \limsup\limits_{ n \to \infty } |f_{n}-f|   \, d\mu \\
&= \int_{E} 2g - \lim\limits_{ n \to \infty } |f_{n} - f| \, d\mu & \text{car } (f_{n}) \text{ converge}\\
&= \int_{E} 2g - 0 \, d\mu  \\
&= \int_{E} 2g \, d\mu 
\end{align}$$
Pour le membre de droite :
$$\begin{align} 
\liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} g_{n} \, d\mu &= \liminf\limits_{ n \to \infty } \int_{E} 2g - |f_{n}-f| \, d\mu \\
&= \int_{E} 2g \, d\mu - \limsup\limits_{ n \to \infty } \int_{E} |f_{n}-f| \, d\mu 
\end{align}$$
On obtient donc :
$\displaystyle \int_{E} 2g \, d\mu \leq \int_{E} 2g \, d\mu - \limsup\limits_{ n \to \infty } \int_{E} |f_{n}-f| \, d\mu$
Et donc :
$\displaystyle 0 \leq -\limsup\limits_{ n \to \infty }\int_{E} |f_{n}-f| \, d\mu$
de là suit que
$\displaystyle 0\leq \limsup\limits_{ n \to \infty } \int_{E} |f_{n}-f| \, d\mu \leq 0$
c'est-à-dire que :
$\displaystyle \limsup\limits_{ n \to \infty }\int_{E} |f_{n} - f| \, d\mu = 0$

On a, en particulier :
$\displaystyle \left| \int_{E} f_{n} \, d\mu - \int_{E} f \, d\mu \right| = \left| \int_{E} (f_{n} - f) \, d\mu \right| \leq \underbrace{\int_{E} |f_{n} - f| \, d\mu}_{=0}$
Donc $\displaystyle\int_{E} f_{n} \, d\mu$ converge bien vers $\int_{E} f \, d\mu$.

On a donc démontré le théorème en supposant 1. et 2., c'est à dire en supposant que :
- $f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f$ partout
- $g$ existe $g$ intégrable positive telle que $\forall n \in \mathbb{N},\quad |f_{n}| \leq g$

# 2 - Hypothèses vraies presque partout
- Soit $N \in \mathcal{A},\quad \forall x \in E \setminus N,\quad f_{n}(x) \xrightarrow{n \to \infty} f(x)$ avec $\mu(N) = 0$
    - un tel $N$ existe, puisque d'après l'hypothèse 1. on a $f_{n} \to f$ $\mu$-presque partout
- Pour tout $n \in \mathbb{N},\quad |f_{n}| \leq g$ $\mu$-presque partout. Il existe donc $N_{n} \in \mathcal{A}$ tel que $\mu(N_{n}) = 0$ et $\forall x \in E\setminus N_{n},\quad |f_{n}(x)| \leq g(x)$
- Posons $\displaystyle M = N \cup \left( \bigcup _{n \in \mathbb{N}} N_{n} \right)$. Par construction, pour tout $x \in E \setminus M$,  on a $f_{n}(x) \xrightarrow{n \to \infty} f(x)$ et $\forall n \in \mathbb{N},\quad |f_{n}(x)| \leq g(x)$
- Posons $h_{n} = f_{n}\mathbb{1}_{M^{\complement}}$ et $h = f\mathbb{1}_{M^{\complement}}$
    - On a alors sur $E$, $h_{n} \xrightarrow{n \to \infty} h$ et $|h_{n}| \leq g$

On peut appliquer l'hypothèse 1. à $(h_{n})$ et on obtient :
$\displaystyle \int_{E} |h_{n} - h| \, d\mu \xrightarrow{ n \to \infty} 0$

Or $\mu(M) \leq \mu(N) + \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \mu(N_{n}) = 0$ donc $|h_{n} - h| = |f_{n} - f|$ $\mu$-presque partout et ainsi $\displaystyle \int_{E} |h_{n}-h| \, d\mu = \int_{E} |f_{n}-f| \, d\mu$