up:: [[norme]] 
title:: "$d(x, y) = \|y - x\|$"
#maths/algèbre 

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> [!definition] distance
> Soit $(E, \langle\cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]] 
> Soit $\|\cdot\|$ la norme de cet espace ($\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle$)
> On définit une **distance** $d$ sur cet espace, à partir de la [[norme]] comme :
> $\boxed{d(x, y) = \|y - x\|}$
^definition

> [!definition] distance (définition axiomatique)
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
> Une fonction $d : E^{2} \to \mathbf{K}$ est une **distance** ssi :
>  - $d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
>  - $d(x, y) = 0 \iff x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
>  - $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$ ([[inégalité triangulaire]] )