up:: [[intégration généralisée]] 
title:: "$\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx \text{ CV.} \quad \wedge \quad \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx \text{ CV.} \implies \int_{a}^{+\infty} \lambda f(x)+g(x) \, dx \text{ CV.}$", "et $\displaystyle \lambda\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx + \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx = \int_{a}^{+\infty} \lambda f(x)+g(x) \, dx$"
#s/maths/analyse 

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> [!definition] Convergence de l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions dont l'intégrale converge
> Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $C^0_{pm}([a; +\infty[)$
> Si $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ et $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx$ sont convergentes
> Alors on sait que $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} \lambda f(x)+g(x) \, dx$ converge, et on a :
> $\displaystyle \lambda\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx + \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx = \int_{a}^{+\infty} \lambda f(x)+g(x) \, dx$
^definition


# Démonstration

La démonstration se fait simplement grâce a la linéarité de l'intégrale, avec un passage à la limite pour la borne supérieure (en $+\infty$).