up::[[structure algébrique]]
title::"$(A,+,\times)$ où :", "$(A,+)$ est un [[groupe abélien]]", "$(A,\times)$ est un [[monoïde]]", "$\times$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$"
#maths/algèbre  

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Un ensemble $A$ muni de deux lois $+$ et $\times$ est un _anneau_ ssi :
 - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]
     - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]]
     - il y a un [[élément neutre]] pour $+$
     - tous les éléments sont [[éléments symétrisables|symétrisables]] par $+$
 - $(A, \times)$ est un [[monoïde]]
     - $\times$ est [[associativité|associative]]
     - il y a un [[élément neutre]] pour $\times$
     - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$
 - $\times$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$ (à droite et à gauche)