up:: [[intégration]]
#s/maths/intégration 

> [!definition] Définition
> Soit $f \in \mathscr{L}_{\lambda}^{1}(\mathbb{R})$ une [[fonction mesurable]] avec $\int_{\mathbb{R}} |f| \, d\lambda$ 
> On lui associe sa **transformée de Fourier**, notée $\hat{f}$ et définie par :
> $\begin{align} \hat{f}(t) &= \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{itx} \, \lambda(dx) \\ &= \int_{\mathbb{R}} f(x)\cos(tx) \, \lambda(dx) + i\int_{\mathbb{R}} f(x)\sin(tx) \, \lambda(dx) \end{align}$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Si $\hat{f}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$
> Si $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |xf(x)| \, \lambda(dx) < +\infty$, alors :
> - $f$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$ 
> - $\displaystyle \hat{f}'(t) = \int_{\mathbb{R}} ix f(x) e^{ itx } \, \lambda(dx)$


# Exemples