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alias: [ "théorème des bornes atteintes", "théorème de Weierstrass" ]
up: "[[application continue]]"
tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] théorème des valeurs extrêmes
> Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]
> Soit $I \subset \mathbf{K}$ un [[intervalle fermé]]
> Soit $f: I \to F$
> Si $f\in C^{0}(I)$ ($f$ est [[application continue|continue]] sur $I$), alors $f$ est **[[fonction bornée|bornée]]**
^definition

> [!attention] Intervalles contenant des infinis
> La propriété ne fonctionne plus quand l'intervalle $I$ contient des valeurs infinie.
> Par exemple, la fonction :
> $\begin{align} f : & [0; +\infty] \to \mathbb{R}^{+}\\ & x \mapsto e^{x} \end{align}$
> Est continue sur l'intervalle $[0; +\infty]$, mais n'est pas bornée (elle diverge vers $+\infty$ en $+\infty$)
> (voir [[fonction exponentielle]])