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aliases:
  - théorème de convergence monotone
  - théorème de Beppo-Levi
up:
  - "[[intégration]]"
  - "[[intégrale de lebesgue]]"
tags: "#s/maths/intégration"
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> [!proposition]+ [[théorème de convergence monotone des intégrales]]
> Soit $(f_{n})$ une suite **[[suite croissante|croissante]]** de [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] **positives**.
> Soit $\displaystyle f = \sup_{n} f_{n}$
> $f$ est mesurable positive, et on a :
> $\boxed{\displaystyle\int _{E} \lim\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int _{E} f \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \left(  \int _{E} f_{n} \, d\mu \right)}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\forall x \in E,\quad (f_{n}(x))_{n}$ est croissante, et $f_{n}(x) \xrightarrow{n \to \infty} f(x)$ dans $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ et $f_{n}(x) \leq f(x)$
> > 
> > - $\forall n \in\mathbb{N},\quad \int _{E} f_{n} \, d\mu \leq \int _{E} f \, d\mu$
> > Et la suite $\left( \int _{E} f_{n} \, d\mu \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante et converge dans $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ donc $\lim\limits_{ n \to \infty } \left( \int _{E} f_{n} \, d\mu \right) \leq \int _{E} f \, dx$
> > 
> > - Soit $u$ une [[fonction étagée positive]], avec $u \leq f$ et $\lambda \in ]0, 1[$
> > Posons $E_{n} = \{ x \in E \mid f_{n}(x) \geq \lambda u(x) \}$ pour $n \in \mathbb{N}$
> > Alors :
> > $\bigcup _{n} E_{n} = E$ car $\lim\limits_{ n \to \infty } f_{n}(x) \geq u(x) > \lambda u(x)$ 
> > $\forall n \in \mathbb{N},\quad E_{n} \subset E_{n+1}$ car $(f_{n})$ est croissante et car $\bigcup _{n} E_{n} = E$
> > On a $f_{n} \geq \lambda u \mathbb{1}_{E_{n}}$ donc $\int _{E} f_{n} \, d\mu \geq \underbrace{\lambda \int _{E} u \mathbb{1}_{E_{n}} \, dx}_{\text{fonction étagée}}$ 
> > $\int _{E} u \mathbb{1}_{E_{n}} \, d\mu \xrightarrow{n \to \infty} \int _{E} u \mathbb{1}_{E} \, d\mu = \int _{E} u \, d\mu$
> > 
> > Alors :
> > $\lim\limits_{ n \to \infty } \int _{E} f_{n} \, d\mu \geq \lambda \int _{E} u \, d\mu$
> > On prend le supremum sur $u$ étagée $\leq f$
> > $\lim\limits_{ n \to \infty } \left( \int _{E} f_{n} \, d\mu \right) \geq \lambda \int _{E} f \, d\mu$ (vrai pour tout $\lambda < 1$)
> 
> 
^theoreme

> [!idea] Pour retenir
> Si $(f_{n})$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives qui tend vers $f$
> alors on peut permuter la limite et l'intégrale :
> $\int \lim\limits f_{n}\, dx = \lim\limits \int f_{n} \, dx$