up:: [[sous groupe]]

> [!definition] [[théorème de Lagrange]]
> Soit $G$ un groupe **fini**, et soit $H$ un [[sous groupe]] de $G$
> Alors, $\#H$ divise $\#G$
^definition

> [!definition] [[théorème de Lagrange]]
> Soit $G$ un groupe
> Soit $H$ un [[sous groupe]] de $G$
> Si $\#G < \infty$ alors $\#H \mid \#G$

# Exemples d'application

> [!corollaire] Corollaire 
> Si $\#G = p$ premier
> Alors, $\{ 1 \}$ et $G$ sont les seuls [[sous groupe|sous-groupes]] de $G$
> - = Si $p > n$ avec $p$ [[nombre premier|premier]], alors $\mathfrak{S}_{n}$ ne possède pas de sous groupe d'ordre $p$
> - ! La réciproque n'est pas vraie : $\mathfrak{A}_{4}$ ([[groupe alterné]]) est d'ordre $12$, mais il ne possède pas de sous-groupe d'ordre $6$