up:: [[théorème de factorisation des morphismes]]
#s/maths/algèbre 

> [!proposition]+ théorème d'isomorphisme
> Soit $f : G \to G'$ un morphisme de groupes
> Alors $G / (\ker f) \simeq \mathrm{im} f$
> - ! On a pas en général $G \simeq \ker f \times \operatorname{im} f$
>     - = $\mathfrak{S}_{3}$ est non-commutatif, mais $\mathfrak{A}_{3} \times \{ Id \}$ est commutatif
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - i Ce théorème peut être vu comme un corollaire du [[théorème de factorisation des morphismes]]
> > 
> > On applique le [[théorème de factorisation des morphismes]] avec $H := \ker f \trianglelefteq G$
> > > le morphisme $\bar f : G / \ker f \to \mathrm{im} f$ est injectif car $H = \ker f$, et est surjectif car $\mathrm{im}\bar f = \mathrm{im} f$
^theoreme