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aliases:
  - suite extraite
  - sous-suite
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up::[[suite]]
#s/maths/analyse

> [!definition] 
> Soit $(u_{n})$ une suite
> Une _sous suite_ de $(u_{n})$ (ou _suite extraite_) est une suite de la forme :
> $\left( u_{\varphi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ où $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ est strictement croissante
^definition

# Propriétés
Soit $(u_{n})$ une suite
Soit $\left( u_{\varphi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ une sous-suite de $(u_{n})$


> [!proposition]+ 
> $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_{n} = l \implies \lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_{\varphi(n)} = l$
> si $u_{n}$ converge, alors toutes ses sous-suites convergent vers la même limite.
> [[démonstration une suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite|démonstration]]
^meme-limite-suite-extraite

> [!proposition]+ 
> $\lim\limits_{n \to \infty} u_{n} = l  \iff  \forall \varphi \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}, \lim\limits_{n \to \infty} u_{\varphi(n)} = l$
  > $(u_{n})$ converge vers $l$ ssi **toute** sous-suite de $(u_{n})$ converge vers $l$