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  - "[[analyse exploratoire de données]]"
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  - s/maths/statistiques
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share_updated: 2026-01-27T01:26:28+01:00
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# I - Motivation
Lorsque l'on travaille sur des données tabulaires.

![[statistiques univariées données tabulaires 2026-01-26 16.09.21.excalidraw|600]]

 - phase préliminaire de l'analyse exploratoire
     - examen de chaque colonne (échantillon multivarié)
 - phase II : examiner les colonnes paire par paire
 - phase III : recherche de relations $\begin{cases} \text{entre 1 colonne et les autres}\\ \text{entre 2 groupes de colonnes} \end{cases}$ (analyse multivariée)

# II - Lexique / vocabulaire
 - échantillon (sample)
     - souvent obtenu à partir d'une *population*
     - ! bien distinguer un sondage (qui vient d'un tirage sur un recensement de la population) d'une enquête d'opinion (qui admet des refus, ce qui ne permet pas de connaître la distribution de l'échantillon)
 - mesures/variables sur chaque individu, de 2 types :
     - variables numériques (à valeurs dans les nombres)
     - variables catégorielles/qualitatives (à valeurs dans un ensemble fini)
    - I échelle de Likert : réponse (sur 5 ou 7 items), pour évaluer des perceptions/attitudes/opinions
        - = "que pensez vous de la politique de Macron ?" : très bonne, plutôt bonne, neutre, plutôt mauvaise, très mauvaise

# III - échantillons quantitatifs / numériques
étant donnés $n$ individus, et soient $x_1, \dots, x_{n}$ les $n$ mesures sur chacun de ces individus.

cet échantillon donne une **loi empirique** $P_{n}$ :
 - loi sur $\mathbb{R}$ (muni de la tribu...)
 - $\displaystyle P_{n}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \mathbb{1}_{\{ x_{i} \in A \}}$ donne un poids $\frac{1}{n}$ à chaque point $x_{i}$
**Fonction de répartition empirique** (ecrf) :
$\begin{align} F_{n} : \mathbb{R} & \to (0, 1)\\ x &\mapsto P_{n}(]-\infty, x[) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{1}{n}\mathbb{1}_{x_{i}\leq x} \end{align}$

> [!info] caractérisations équivalentes
> Entre l'échantillon et la fonction de répartition empirique, il y à **perte d'information**
> Si les $(x_{i})$  sont distincts, toutes les $n!$ permutations de l'échantillon donnent la même fonction de répartition.
> La fonction de répartition donne autant d'information que l'échantillon **trié**.
> 
> soient $x_{1:n} \leq x_{2:n} \leq \cdots \leq x_{n:n}$ les "statistiques d'ordre" (les $(x_{i})$ ordonnés)
> $x \in [x_{i:n}; x_{n:n}[ \iff F_{n}(x) = \frac{i}{n}$ 
> 
> Les statistiques d'ordre, la loi empirique et la fonction de répartition empirique, donnent la même information sur les mesures.

# IV - résumés numériques
essentiellement : $\begin{cases} \text{localisation (espérance/moyenne)} \\ \text{dispersion (ecart type)} \end{cases}$

espérance $\leftrightarrow$ moyenne empirique $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n} x_{i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n}x_{i:n}$
si on ajoute $\mu$ a chaque élément de $(x_1, \dots, x_{n})$ , la moyenne empirique est augmentée de $\mu$ (translation)

dispersion : $s^{2} = \frac{1}{\color{darkorange}n-1} \sum\limits_{i = 1}^{n}(x_{i} - \overline{X})^{2}$
 - so ces indicateurs marchent pour des lois normales (gaussiennes), mais il en faut d'autres pour d'autres lois
 
quantiles (dont la médiane)

## paramètres de **dispersion** :
soit $m$ la médiane
 - MAD = $\frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} |X_{i} - m|$ déviation absolue moyenne
 - MED = $\operatorname{Mediane}(|X_1 - m|, |X_2-m|, \dots, |X_{n}-m|)$
 - IQR = $F^{\leftarrow}_{n}\left( \frac{3}{4} \right) - F^{\leftarrow}_{n}\left( \frac{1}{4} \right)$ interquantile range

# V - graphiques

# VI - échantillons catégoriels