---
aliases:
  - sous groupes
---
up::[[groupe]]
#s/maths/algèbre

> [!definition] [[sous groupe]]
> Soit $(G, *)$ un groupe
> Soit $H \subseteq G$ une partie de $G$
> On dit que $H$ est un **sous-groupe** de $G$ si :
> 1. $e_{G} \in H$    $H$ (contient l'[[élément neutre]])
> 2. $\forall h, h' \in H \quad h*h' \in H$ ($H$ est stable par $*$)
> 3. $\forall h \in H, \quad h^{-1} \in H$ ($H$ est stable par [[éléments inversibles|inverse]])
>     - I pour montrer que $H$ est un sous-groupe, on a pas besoin de montrer que $h^{-1}$ existe (car $H$ est déjà un groupe), mais seulement qu'il est dans $H$
^definition

> [!definition] [[sous groupe]]
> Soit $H$ un **sous-ensemble** non vide d'un groupe $G$ muni d'une loi $*$.
> $(H, *)$ est un _sous-groupe_ de $(G, *)$ ssi :
>  - $*$ est une [[loi de composition interne]] sur $H$ : $\forall (h_1,h_2)\in H^2, h_1*h_2\in H$
>  - $\forall h\in H, h^{-1}\in H$ : tous les éléments de $H$ ont leur [[éléments inversibles|symétrique]] dans $H$ aussi
>      - Alors $h*h^{-1}\in H$, donc cette propriété implique que $(H,*)$ possède un [[élément neutre]]
> 
> On sait aussi que $(H,*)$ est commutatif et associatif car $(G,*)$ l'est, et que $H\subset G$

# Propriétés

> [!proposition] Conditions pour être un sous groupe
> Soit $G$ un groupe 
> Une partie $H \subseteq G$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :
> - $H \neq \emptyset$
> - $\forall (x, y) \in H^{2}, \quad xy^{-1} \in H$
> 
> - ? Sauf dans les cas où les calculs sont très faciles, on préfère utiliser la définition
> Si on l'utilise, pour montrer $H \neq \emptyset$, il suffit de montrer que $e_{G} \in H$ 
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 1. $\implies$
> > Soit $H$ un [[[[sous groupe]]e $G$
> > On sait que $e_{G} \in H$, donc $\boxed{H \neq \emptyset}$
> > Pour $x, y \in H$, on sait que $y^{-1} \in H$ (car $H$ est un groupe)
> > donc $\boxed{xy^{-1} \in H}$
> > 1. $\impliedby$ 
> >    1. $H$ contient l'élément neutre
> > $H \neq 0$, on peut donc prendre un élément $h_0 \in H$
> > On a $h_0 * h_0^{-1} \in H$ car $h_0 \in H$
> > Or, $h_0*h_0^{-1} = e_{G}$
> > donc $\boxed{e_{G} \in H}$
> >    2. $H$ est stable par [[éléments inversibles|inverse]]
> > Soit $h \in H$, on a $e_{G}, h \in H$ donc $e_{G}h^{-1} \in H$
> > Alors, on a bien $\boxed{h^{-1} \in H}$
> >    3. $H$ est stable par $*$
> > Soient $h, h' \in H$
> > On a vu que $h'^{-1} \in H$
> > alors $h*(h' ^{-1})^{-1} \in H$ soit $\boxed{h*h' \in H}$
> >  
> > Comme on a montré l'implication dans les deux sens, on a bien démontré l'équivalence
> > 
^condition-sous-groupe

> [!proposition] Sous groupe d'un [[produit direct de groupes]]
> Si $H$ est un [[sous groupe]] de $G$
> Soit $\tilde{*}$ une loi définie comme :
> $\begin{align} \tilde{*} : & H \times H \to H \\ &(h, h') \mapsto h \tilde{*} h' := h*h' \end{align}$
> alors $(H, \tilde{*})$ est un groupe
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $H \neq \emptyset$ car $e_{G} \in H$ par définition
> > - $\tilde{*}$ est associative 
> > En effet, $\forall (h, h', h'') \in H^{3}$ :
> > $\begin{align} h \tilde{*} (h' \tilde{*} h'') &= h \tilde{*} \underbracket{h' \tilde{*} h''}_{\in H} \\&= h * (h' * h'') \\&= \underbracket{(h * h')}_{\in H} * h'' \\&= (h*h')\tilde{*}h''\\&= (h \tilde{*} h') \tilde{*} h'' \end{align}$
> > - existence du neutre
> > Par défninion on a $e_{G} \in H$, et :
> > $\forall h \in H, \quad h \tilde{*} e_{G} = h*e_{G} = h = e_{G}*h = e_{G} \tilde{*} h$
> > Donc $e_{G}$ est bien le neutre de $(H, \tilde{*})$
> > - existence de l'inverse
> > Soit $h \in H$, on a $h \in G$; ainsi, si $h^{-1}$ est l'inverse de $h$ dans $G$, on a :
> > $\begin{cases} h * h^{-1} = h^{-1} * h = e_{G} \\ h^{-1} \in H \end{cases}$ car $H$ est un [[[[sous groupe]]e $G$
> > et donc : $\begin{cases} h^{-1} \in H \\ h \tilde{*} h^{-1} = h^{-1} \tilde{*} h = e_{G} = e_{H} \end{cases}$
> 
^sous-groupe-produit-direct

> [!proposition]+ Stabilité par intersection dénombrable
> Soit $(G, *)$ un groupe
> Soit $(H_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une famille quelconque de sous groupes de $(G, *)$.
> $\displaystyle\bigcap_{i\in \mathbb{N}}H_{i}$ est également un sous groupe de $(G, *)$
^stabilite-intersection

# Exemples 


> [!example] Sous groupes classiques
> $\mathbb{Z}$ est un [[[[sous groupe]]e $\mathbb{Q}$ qui est un [[[[sous groupe]]e $\mathbb{R}$ qui est un [[[[sous groupe]]e $\mathbb{C}$ 

> [!example] $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas un sous groupe de $\mathbb{R}$
> En effet, la loi sous-entendue sur $\mathbb{R}^{*}$ est $\times$, alors que la loi sous-entendue sur $\mathbb{R}$ est $+$.
> Un [[[[sous groupe]] toujours la même loi le groupe.
> De la même manière :
> - $GL_{n}(\mathbb{C})$ n'est pas un [[[[sous groupe]]e $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$
> - $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times}$ n'est pas un [[[[sous groupe]]e $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$