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aliases:
  - engendré
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up::[[sous groupe]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[sous groupe engendré]]
> Soit $G$ un groupe et $S \subseteq G$ une partie de $G$
> L'intersection de tous les [[sous groupe|sous-groupes]] de $G$ qui contiennent $S$ est appelé le **sous-groupe engendré par $S$**.
> On le note $\langle S \rangle$ ou $\left\langle S \right\rangle_{G}$.
> Le groupe $G$ est appelé **groupe ambient** du sous groupe engendré $S$. On peut engendrer un groupe sans groupe ambient. On parle alors de [[groupe libre]].
^definition


> [!info] Notation
> Si $S = \{ s_1, s_2, \dots, s_{n} \}$ alors on écrira simplement $\left\langle s_1, s_2, \dots, s_{n} \right\rangle$ plutôt que $\left\langle \{ s_1, s_2, \dots, s_{n} \} \right\rangle$

> [!idea] Intuition
> Les sous-groupes engendrés sont similaires aux [[espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs|espaces vectoriels engendrés]].

# Propriétés

> [!proposition]+ Proposition
> Soit $G$ un groupe et $S \subseteq G$
> Le [[sous groupe]] $\left\langle S \right\rangle$ est le plus petit [[sous groupe]] de $G$ qui contient $S$.
> En particulier, si $H$ est un [[sous groupe]] de $G$, alors :
> $\boxed{H \supseteq S \iff H \supseteq \left\langle S \right\rangle}$
> - I Similaire à la propiété :
> Soient $E$ un [[espace vectoriel]] et $F$ un [[sous espace vectoriel]] de $E$. $F \supseteq \mathrm{vect}(x_1, \dots, x_{n}) \iff \forall i,\quad F \ni x_{i}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $\Sigma$ l'ensemble des [[sous groupe|sous-groupes]] de $G$ qui contiennent $S$, de sorte que $\displaystyle\left\langle S \right\rangle = \bigcap _{K \in \Sigma} K$
> > Soit $H$ un [[sous groupe]] de $G$
> > 1. $\impliedby$
> > On suppose $H \supseteq \left\langle S \right\rangle$
> > Par définition, $\forall K \in \Sigma ,\quad K \supset S$
> > ainsi $\displaystyle \left\langle S \right\rangle = \bigcap _{K \in \Sigma} K \supseteq S$
> > Donc $G \supseteq \left\langle S \right\rangle \supseteq S$
> > 2. $\implies$
> > On suppose $H \supseteq S$
> > Ainsi $H$ est un [[sous groupe]] de $G$ contenant $S$, donc $H \in \Sigma$
> > Ainsi, $\displaystyle\left\langle S \right\rangle = \bigcap _{K\in \Sigma} K = H \cap \bigcap _{K \in \Sigma \setminus \{  H \}} K \subseteq H$
> > Le [[sous groupe]] $\left\langle S \right\rangle$ est bien le plus petit [[sous groupe]] de $G$ qui contienne $S$, car il contient tous les [[sous groupe]] de $G$ qui contiennent $S$

> [!proposition]+ Proposition
> Soit $G$ un groupe
> Soit $S \subseteq G$
> - Si $S = \emptyset$, alors $\left\langle S \right\rangle = \{ 1 \}$
> - Sinon, $S \neq \emptyset$ et :
> $\left\langle S \right\rangle = \{ x_1x_2 \dots x_{n} \mid n \in \mathbb{N} \wedge \forall i \in [\![1; n]\!], x_{i} \in S \cup S^{-1} \}$
> où $S^{-1} := \{ s ^{-1}\mid s \in S \} \subseteq G$
> 
> - I le sous-groupe engendré $S$ est l'ensemble les compositions possibles d'éléments de $S \cup S^{-1}$
> 
> > [!info]- Pour les groupes abéliens notés additivement
> > Si $G$ est abélien avec une loi notée additivement
> > Pour $S \subseteq G$ on a :
> > $\begin{align} \left\langle S \right\rangle &= \{ \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_{n} \mid n \in \mathbb{N} \wedge x_{i} \in S \} \\&= \{ x_1 x_2 \cdots x_{n} \mid n \in \mathbb{N} \wedge x_{i} \in S \cup (-S)\}\end{align}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Si $S = \emptyset$ alors $\left\langle S \right\rangle = \{ 1 \}$ car :
> > - $\{ 1 \} \subseteq \left\langle S \right\rangle$ car $\left\langle S \right\rangle$ est un sg de $G$
> > - $\{ 1 \} \supseteq \left\langle S \right\rangle$ par la proposition précédente
> > 
> > On suppose maintenant $S \neq \emptyset$
> > Soit $H$ la partie définie dans l'énoncé. On veut montrer que $H$ est un [[sous groupe]] de $G$ :
> > On a bien $1 \in H$ car (le produit pour $n = 0$ ou) $1 = s \cdot s ^{-1}$ où $s \in S$ (car $s ^{-1} \in S$)
> > Soient $x, y \in H$, avec $x = x_1, \dots x_{m}$ et $y = y_1, \dots yd_{n}$ et $x_{i}, y_{j} \in S \cup S^{-1}$
> > Si $y_{j}  \in S^{-1}$, alors $\exists z \in S,\quad y_{j} = z^{-1}$
> > donc $y^{-1} = (z^{-1})^{-1} = z \in S$
> > On a alors :
> > $\begin{align} xy^{-1} &= (x_1\dots x_{m})(y_1 \dots y_{n})^{-1}\\ &= \underbrace{x_1 \cdots x_{m}}_{\in S \cup S^{-1}} \underbrace{y^{-1}_{n}\cdots y^{-1}_{1}}_{\substack{\text{si } y_{j} \in S \text{ alors } y_{j}^{-1} \in S^{-1}\\\text{si } y_{j}\in S^{-1} \text{ alors } y_{j}^{-1} }} \end{align}$
> > Donc on a bien $xy^{-1} \in H$, et donc $\forall j,\quad y_{j} \in S \cup S^{-1}$
> > 


# Exemples

> [!example] Dans $\mathbb{Z}$
> $\left\langle 2 \right\rangle = 2\mathbb{Z} = \{ 2k \mid k \in \mathbb{Z} \}$
> et $\left\langle 2, 3 \right\rangle= \mathbb{Z}$ 
> - I pour montrer cette égaliter, il suffit de montrer que $\left\langle 2, 3 \right\rangle \supseteq \left\langle 1 \right\rangle$, donc il suffit de montrer que $1 \in \left\langle 2, 3 \right\rangle$, ce qui est vrai car $1 = 3 - 2$